Question

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 4 даёт остаток 1, а при делении на 8 даёт остаток 3? Даю 20 баллов!

Answer 1

Если число делится на 8 с остатком 3, то есть можно представить как 8z +3, где z - натурально число. Но 8z+3 делится на 4 с остатком 3, так как 8z делится на 4 без остатка

Такого числа не существует

Answer 2

Да, существует такое натуральное число. Для того чтобы найти его, можно воспользоваться китайской теоремой об остатках.

Для данной задачи, у нас есть два условия:

1. Число при делении на 4 даёт остаток 1.
2. Число при делении на 8 даёт остаток 3.

Согласно китайской теореме об остатках, чтобы найти число, которое удовлетворяет обоим условиям, нужно найти решение системы сравнений:

x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 8)

Решим эту систему.

Посмотрим на первое условие: x ≡ 1 (mod 4)

Из этого условия следует, что x принимает вид 4k + 1, где k - некоторое целое число.

Теперь рассмотрим второе условие: x ≡ 3 (mod 8)

Из этого условия следует, что x принимает вид 8m + 3, где m - некоторое целое число.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. x = 4k + 1
2. x = 8m + 3

Мы хотим найти такое x, которое удовлетворяет обоим уравнениям одновременно.

Для этого приравняем правые части уравнений: 4k + 1 = 8m + 3

Теперь преобразуем уравнение, чтобы найти целочисленные решения. Выразим k через m: 4k = 8m + 2 k = 2m + 0.5

Так как k и m - целые числа, то 2m + 0.5 должно быть целым. Но 2m - целое, а 0.5 - дробная часть, которая не удовлетворяет этому условию.

Однако, заметим, что уравнение x = 4k + 1 всегда дает остаток 1 при делении на 4, а уравнение x = 8m + 3 всегда дает остаток 3 при делении на 8. Это означает, что система сравнений не имеет целочисленных решений, и нет такого натурального числа, которое бы удовлетворяло обоим условиям одновременно.

Итак, ответ: нет такого натурального числа.