Question

 Вычислить несобственный интеграл или указать его расходимость:  (a-это "∞"(не смог в формулу вписать)) напишите подробно решение

Answer 1

Решение смотрите во вложении..

Answer 2

Для вычисления несобственного интеграла с бесконечным пределом (от "a" до "∞"), необходимо выполнить следующие шаги. Предположим, у нас есть интеграл:

∫[a, ∞] f(x) dx

1. Проверить условия интегрирования: а) Функция f(x) должна быть определена на всем промежутке [a, ∞]. б) Если f(x) содержит разрывы или особенности (например, полюса) на этом промежутке, то несобственный интеграл может расходиться.

2. Выяснить тип несобственности: а) Если предел ∞ входит в определение функции f(x) или в пределы интегрирования, то у нас имеется несобственность первого рода. б) Если у нас есть разрыв функции f(x) на промежутке [a, ∞], то у нас имеется несобственность второго рода.

3. Проверить на сходимость или расходимость: а) Если несобственный интеграл сходится, то он имеет конечное значение. б) Если несобственный интеграл расходится, то он имеет бесконечное значение или значение не определено.

Допустим, у нас есть интеграл:

∫[a, ∞] f(x) dx

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: ∫[1, ∞] (1/x) dx

1. Условия интегрирования: а) Функция f(x) = 1/x определена на всем промежутке [1, ∞], за исключением точки x = 0. б) Функция f(x) не содержит разрывов или особенностей на промежутке [1, ∞].

2. Тип несобственности: а) У нас есть предел ∞ в пределах интегрирования, поэтому имеется несобственность первого рода.

3. Проверка на сходимость или расходимость: а) Вычислим предел интеграла при x -> ∞: lim(x -> ∞) ∫[1, x] (1/t) dt

   б) Вычислим сам интеграл: ∫[1, x] (1/t) dt = ln|x| |[1, x]

   в) Подставим пределы интегрирования: lim(x -> ∞) ln|x| - ln|1|

   г) Предел ln|x| при x -> ∞ равен бесконечности (положительной или отрицательной), поэтому несобственный интеграл расходится.

Таким образом, несобственный интеграл ∫[1, ∞] (1/x) dx расходится.

Пример 2: ∫[1, ∞] (1/x^2) dx

1. Условия интегрирования: а) Функция f(x) = 1/x^2 определена на всем промежутке [1, ∞]. б) Функция f(x) не содержит разрывов или особенностей на промежутке [1, ∞].

2. Тип несобственности: а) У нас есть предел ∞ в пределах интегрирования, поэтому имеется несобственность первого рода.

3. Проверка на сходимость или расходимость: а) Вычислим предел интеграла при x -> ∞: lim(x -> ∞) ∫[1, x] (1/t^2) dt

   б) Вычислим сам интеграл: ∫[1, x] (1/t^2) dt = -1/t |[1, x]

   в) Подставим пределы интегрирования: lim(x -> ∞) (-1/x) - (-1/1)

   г) Предел (-1/x) при x -> ∞ равен 0, а (-1/1) равен -1.

   д) Итак, несобственный интеграл ∫[1, ∞] (1/x^2) dx сходится и его значение равно 1.

Таким образом, интеграл ∫[1, ∞] (1/x^2) dx сходится и его значение равно 1.