Question

Найти значения частных производных функции точке Напишите подробно

Answer 1

Ловите решение. Дифференцируя по одной переменной, другие принимаем за константы. Таким образом находим все частные производные. Затем подставляем в выражение каждой производной координаты точки М. Удачи вам!

Answer 2

Чтобы найти значения частных производных функции в заданной точке, нам необходимо знать саму функцию. Предположим, у нас есть функция f(x, y), которая зависит от двух переменных x и y, и нам нужно найти значения её частных производных в некоторой точке (x₀, y₀).

Обозначим частные производные функции f(x, y) по переменным x и y как fₓ (частная производная по x) и fᵧ (частная производная по y) соответственно. Тогда производные можно вычислить следующим образом:

1. Частная производная по x (fₓ): Чтобы вычислить fₓ, необходимо взять производную функции f(x, y) по переменной x, считая y константой. То есть мы рассматриваем f(x, y₀), где y₀ - это значение y в заданной точке. Вычислительно, это эквивалентно взятию производной функции f(x, y) по x и подстановке x₀ на место x.

2. Частная производная по y (fᵧ): Аналогично, чтобы найти fᵧ, нужно взять производную функции f(x, y) по переменной y, считая x константой. То есть мы рассматриваем f(x₀, y), где x₀ - это значение x в заданной точке. Вычислительно, это эквивалентно взятию производной функции f(x, y) по y и подстановке y₀ на место y.

После того, как мы найдем значения частных производных fₓ и fᵧ в точке (x₀, y₀), мы можем подставить значения x₀ и y₀, чтобы получить конкретные числа.

Здесь приведен пример функции и вычисления частных производных в заданной точке:

Пусть у нас есть функция f(x, y) = x² + 2xy + y²

1. Найдем частную производную по x (fₓ): fₓ = d/dx (x² + 2xy + y²) fₓ = 2x + 2y (производная x² равна 2x, производная 2xy равна 2y)

2. Найдем частную производную по y (fᵧ): fᵧ = d/dy (x² + 2xy + y²) fᵧ = 2x + 2y (производная y² равна 2y, производная 2xy равна 2x)

Теперь, если нам нужно вычислить значения частных производных fₓ и fᵧ в точке (2, 3):

1. fₓ(2, 3) = 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10
2. fᵧ(2, 3) = 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10

Таким образом, значения частных производных функции f(x, y) в точке (2, 3) равны fₓ(2, 3) = 10 и fᵧ(2, 3) = 10.