Question

Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії якщо а3=14, а10=29

Answer 1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии.

$a_n = a_1 + d * (n - 1).$

Составим систему для нахождения первого члена и разности прогрессии.

$\left \{ {{a_1 + d * (3 - 1) = 14,} \atop {a_1 + d * (10 - 1) = 29;}} \right.$

$\left \{ {{a_1 + 2d = 14,} \atop {a_1 + 9d = 29.}} \right.$

Вычтем из второго уравнения системы первое.

$7d = 15,$

$d = \frac{15}{7}.$

Подставим полученное значение d в любое из уравнений.

$a_1 + 2 * \frac{15}{7} = 14,$

$a_1 = 14 - \frac{30}{7},$

$a_1 = \frac{68}{7}.$

Таким образом получаем: $a_1 = \frac{68}{7}, d = \frac{15}{7}.$

Находим сумму 20 первых членов прогрессии.

$S = \frac{2a_1 + d * (n-1)}{2}*n = \frac{2 * \frac{68}{7}+ \frac{15}{7} * (20-1)}{2}*20 = \frac{4210}{7} = 601\frac{3}{7}.$

Answer 2

Для того, щоб знайти суму перших 20 членів арифметичної прогресії, нам спочатку потрібно знайти різницю (d) цієї прогресії. Для цього ми скористаємося інформацією про a3 і a10.

Загальний член арифметичної прогресії можна представити як: a(n) = a1 + (n-1) * d,

де a(n) - n-ий член прогресії, a1 - перший член прогресії, d - різниця між сусідніми членами прогресії, n - номер члена прогресії.

Маємо такі умови: a3 = 14, a10 = 29.

Використаємо a3 і a10, щоб знайти a1 та d:

1. Для a3: a(3) = a1 + (3-1) * d, 14 = a1 + 2d.

2. Для a10: a(10) = a1 + (10-1) * d, 29 = a1 + 9d.

Тепер ми маємо систему рівнянь з двох невідомих (a1 і d):

Система рівнянь:

1. a1 + 2d = 14,
2. a1 + 9d = 29.

Знайдемо значення a1 та d, розв'язавши цю систему.

Віднімемо рівняння 1 від рівняння 2: (a1 + 9d) - (a1 + 2d) = 29 - 14, 7d = 15.

Тепер знайдемо значення d: d = 15 / 7 ≈ 2.1429.

Тепер підставимо значення d у рівняння 1 для знаходження a1: a1 + 2 * 2.1429 = 14, a1 ≈ 14 - 4.2857, a1 ≈ 9.7143.

Таким чином, ми отримали значення a1 ≈ 9.7143 і d ≈ 2.1429.

Тепер, коли у нас є значення першого члена (a1) та різниці (d) прогресії, можемо знайти суму перших 20 членів.

Формула для суми перших n членів арифметичної прогресії: S(n) = (n/2) * (a1 + a(n)).

Ми хочемо знайти S(20), тобто суму перших 20 членів прогресії.

S(20) = (20/2) * (a1 + a(20)).

Для знаходження a(20) використаємо загальний член прогресії: a(n) = a1 + (n-1) * d.

a(20) = a1 + (20-1) * d, a(20) = a1 + 19 * d.

Підставимо значення a1 та d: a(20) = 9.7143 + 19 * 2.1429, a(20) ≈ 9.7143 + 40.8571, a(20) ≈ 50.5714.

Тепер підставимо a1 та a(20) у формулу для S(20):

S(20) = (20/2) * (a1 + a(20)), S(20) = 10 * (9.7143 + 50.5714), S(20) = 10 * 60.2857, S(20) ≈ 602.857.

Отже, сума перших 20 членів арифметичної прогресії дорівнює приблизно 602.857.