Question

Розвязати рівняння[tex] |x + 3| + |2x - 1 | =8

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

Рассмотрим 4 возможных случая

1) х + 3 >0 и 2х - 1 > 0 → x∈( 0.5: +∞)

x + 3 + 2x - 1 = 8

3x = 6

x = 2 решение находится в допустимой области ( 0.5: +∞)

2) х + 3 <0 и 2x - 1 < 0 → x∈(-∞; -3)

-x - 3 - 2x + 1 = 8

-3x = 10

x = -10/3 = -3 1/3 решение находится в допустимой области (-∞; -3)

3) х + 3 < 0 и 2x - 1 > 0 → x < - 3 никак не пересекается с х>0.5

поэтому решения здесь нет

4) х + 3 > 0 и 2x - 1 < 0 → x∈ (-3; 0.5)

x + 3 - 2x + 1 = 8

-x = 4

x = -4 не находится в допустимой области (-3; 0.5), поэтому не является решением

Ответ: х1 = 2: х2 = -3 1/3

Answer 3

Щоб розв'язати рівняння [tex]|x + 3| + |2x - 1| = 8[/tex], спробуємо розглянути різні інтервали для значень x, де вирази [tex]|x + 3|[/tex] та [tex]|2x - 1|[/tex] можуть мати різні значення. Рівняння має декілька можливих розв'язків через зміну значення виразів під модулем. Давайте розглянемо всі можливі випадки:

1. [tex]x + 3 \geq 0[/tex] та [tex]2x - 1 \geq 0[/tex] Коли [tex]x \geq -3[/tex] та [tex]x \geq \frac{1}{2}[/tex], модуль виразів стає зайвим, тому рівняння стає: [tex]x + 3 + 2x - 1 = 8[/tex]

Спростимо його: [tex]3x + 2 = 8[/tex]

Віднімемо 2 від обох сторін: [tex]3x = 6[/tex]

Поділимо на 3: [tex]x = 2[/tex]

2. [tex]x + 3 \geq 0[/tex] та [tex]2x - 1 < 0[/tex] Коли [tex]x \geq -3[/tex] та [tex]x < \frac{1}{2}[/tex], ми маємо: [tex]x + 3 - (2x - 1) = 8[/tex]

Спростимо його: [tex]x + 3 - 2x + 1 = 8[/tex]

Знову спростимо: [tex]-x + 4 = 8[/tex]

Віднімемо 4 від обох сторін: [tex]-x = 4[/tex]

Змінимо знак на протилежний: [tex]x = -4[/tex]

3. [tex]x + 3 < 0[/tex] та [tex]2x - 1 \geq 0[/tex] Коли [tex]x < -3[/tex] та [tex]x \geq \frac{1}{2}[/tex], маємо: [tex]-(x + 3) + (2x - 1) = 8[/tex]

Спростимо його: [tex]-x - 3 + 2x - 1 = 8[/tex]

Знову спростимо: [tex]x - 4 = 8[/tex]

Додамо 4 до обох сторін: [tex]x = 12[/tex]

4. [tex]x + 3 < 0[/tex] та [tex]2x - 1 < 0[/tex] Коли [tex]x < -3[/tex] та [tex]x < \frac{1}{2}[/tex], модуль виразів стає зайвим, і маємо: [tex]-(x + 3) - (2x - 1) = 8[/tex]

Спростимо його: [tex]-x - 3 - 2x + 1 = 8[/tex]

Знову спростимо: [tex]-3x - 2 = 8[/tex]

Додамо 2 до обох сторін: [tex]-3x = 10[/tex]

Змінимо знак на протилежний: [tex]x = -\frac{10}{3}[/tex]

Таким чином, ми отримали чотири можливі розв'язки: [tex]x = 2[/tex], [tex]x = -4[/tex], [tex]x = 12[/tex] та [tex]x = -\frac{10}{3}[/tex]. Перевіримо їх підставивши в початкове рівняння:

1. [tex]|2 + 3| + |2(2) - 1| = 8[/tex] [tex]|5| + |4 - 1| = 8[/tex] [tex]5 + 3 = 8[/tex] (Правильно)

2. [tex]|-4 + 3| + |2(-4) - 1| = 8[/tex] [tex]|-1| + |-9 - 1| = 8[/tex] [tex]1 + 10 = 11[/tex] (Невірно)

3. [tex]|12 + 3| + |2(12) - 1| = 8[/tex] [tex]|15| + |24 - 1| = 8[/tex] [tex]15 + 23 = 38[/tex] (Невірно)

4. [tex]|-\frac{10}{3} + 3| + |2\left(-\frac{10}{3}\right) - 1| = 8[/tex] [tex]\left|\frac{1}{3}\right| + \left|-\frac{23}{3}\right| = 8[/tex] [tex]\frac{1}{3} + \frac{23}{3} = \frac{24}{3} = 8[/tex] (Правильно)

Отже, правильні розв'язки рівняння це [tex]x = 2[/tex] та [tex]x = -\frac{10}{3}[/tex].