Question

СРОЧНО Даю 50 баллов в равнобоковой трапеции вписана окружность Точка касания который с боковой стороны трапеции делит его на отрезки длиной 3 и 12 см. Найдите площадь трапеции

Answer 1

Решение на фото. Удачи:)

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим данные величины:

Пусть А и В - основания равнобоковой трапеции (где А - большее основание, В - меньшее основание). Пусть С и D - середины боковых сторон трапеции (где С - точка касания вписанной окружности с боковой стороной).

Теперь, давайте используем данную информацию:

1. СD - радиус вписанной окружности.
2. Так как трапеция равнобоковая, то СD также является медианой трапеции, и она делит боковую сторону на две равные части.
3. Одна из частей боковой стороны имеет длину 3 см, а другая - 12 см.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

CD = 3 + 12 = 15 см.

Теперь, в равнобоковой трапеции медиана также является высотой, и она делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника.

Площадь одного из этих треугольников можно найти, зная его высоту (CD) и половину основания (BC) как:

Площадь треугольника = 1/2 * CD * BC

А половину основания BC мы можем найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BCD:

BC^2 + CD^2 = BD^2

Так как трапеция равнобоковая, BD - это половина суммы оснований:

BD = (AB + CD) / 2

Подставим значение CD и продолжим решение:

BD = (AB + 15) / 2

Теперь найдем BC:

BC^2 + 15^2 = [(AB + 15) / 2]^2

Теперь, так как трапеция равнобоковая, ее основания параллельны, и мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:

AB^2 = BC^2 + BD^2

Подставим значение BC и BD:

AB^2 = [(AB + 15) / 2]^2 + 15^2

Теперь решим это уравнение:

4 * AB^2 = (AB + 15)^2 + 4 * 15^2 4 * AB^2 = AB^2 + 30 * AB + 225 + 900 3 * AB^2 - 30 * AB - 1125 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта D:

D = b^2 - 4ac D = (-30)^2 - 4 * 3 * (-1125) D = 900 + 13500 D = 14400

Теперь найдем значения для AB:

AB = (30 + √14400) / (2 * 3) ≈ (30 + 120) / 6 ≈ 25 см (так как AB - это большее основание)

Теперь можем найти меньшее основание ВС:

BC = (AB + 15) / 2 ≈ (25 + 15) / 2 ≈ 20 / 2 ≈ 10 см

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, используем формулу:

Площадь трапеции = (AB + BC) * h / 2 где h - это высота трапеции (равна радиусу вписанной окружности), то есть h = 15 см.

Подставим значения:

Площадь трапеции = (25 + 10) * 15 / 2 = 35 * 15 / 2 = 525 / 2 = 262.5 квадратных см.

Таким образом, площадь равнобоковой трапеции равна 262.5 квадратных см.