Question

Найдите значение производной сложной функции f(x)=ln(sinx) при x0=п/4

Answer 1

Ничего страшного, вы все правильно написали. Суть задания не меняется.

1) Дифференцируем f'(x)=(1/sinx)*cosx=ctgx

2)Находим значение для x=pi/4. f'(pi/4)=ctg(pi/4)=1

Ответ: 1.

Удачи вам!

Answer 2

Ответ на картинке внизу страницы

Answer 3

Для нахождения значения производной сложной функции $f(x) = \ln(\sin(x))$ при $x_0 = \frac{\pi}{4}$, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции, которое гласит: $(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$, где $g(x) = \ln(x)$ и $f(x) = \sin(x)$.

Шаг 1: Найдем производную $f'(x)$, которая равна производной функции $\sin(x)$.

f'(x) &= \frac{d}{dx} (\sin(x)) \\ &= \cos(x) \end{align*}\] Шаг 2: Найдем производную \(g'(x)\), которая равна производной функции \(\ln(x)\). \[\begin{align*} g'(x) &= \frac{d}{dx} (\ln(x)) \\ &= \frac{1}{x} \end{align*}\] Шаг 3: Теперь найдем производную сложной функции \(f(x) = \ln(\sin(x))\) при \(x_0 = \frac{\pi}{4}\). Для этого подставим \(x_0\) в \(f'(x)\) и \(f(x)\): \[\begin{align*} f'(x_0) &= \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ f(x_0) &= \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}\] Теперь мы можем найти значение производной сложной функции \(f(x) = \ln(\sin(x))\) при \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) с помощью правила дифференцирования сложной функции: \[\begin{align*} (f(g(x)))' &= g'(x) \cdot f'(g(x)) \\ (f(g(x)))' &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ (f(g(x)))' &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ (f(g(x)))' &= -\frac{1}{2\sqrt{2}} \end{align*}\] Таким образом, значение производной сложной функции \(f(x) = \ln(\sin(x))\) при \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) равно \(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\).