Question

Какие используются правила и темы? Способ решения интересует больше, чем ответ. Сама задача- сумма всех целых решений неравенств. 4 \ ( | 3x - 6 | + 3 ) >= 1\3

Answer 1

Для того , чтобы решить это неравенство необходимо 1) определиться с областью определения , неравенство не имеет решения там, где идёт деление на ноль
$|3x - 6| + 3 = 0 \\ |3x - 6| = - 3$

что означает, что точек, где идёт деление на ноль нет, потому что область определения -вся числовая прямая, т.к по св-ву модуля
$|3x - 6| \geqslant 0$
Обе части неравенства можно умножить на положительное число, и т.к
$|3x - 6| + 3 > 0$
то получаем
$4 \geqslant ( |3x - 6| + 3) \div 3$
или

$4 \geqslant |x - 2| + 1$
перебрасываем 1 в левую часть
$3 \geqslant |x - 2|$

ну а дальше раскрываем модуль
при x≥2 модуль раскрывается со знаком +, при x<2 со знаком -

решаем оба линейных неравенства для каждого х и смотрим, какие решения нам подходят для каждой области х.

ну и в конце смотрим, какие из решений будут целыми и складываем их

Answer 2

4/(|3x-6|+3)≥1/3

Раскрываем модуль - получаем систему неравенств:

1.

4/(3x-6+3)≥1/3

4/(3x-3)≥1/3

4/(3*(x-1))≥1/3 |÷3

4/(x-1)≥1

4/(x-1)-1≥0

(4-(x-1))/(x-1)≥0

(4-x+1)/(x-1)≥0

(5-x)/(x-1)≥0

-∞____-___1____+____5____-____+∞ ⇒

x∈(1;5].

2.

4/(-(3x-6)+3)≥1/3

4/(-3x+6+3)≥1/3

4/(9-3x)≥1/3

4/(3*(3-x)≥1/3 |×3

4/(3-x)≥1 

4/(3-x)-1≥0

(4-(3-x))/(3-x)≥0

(4-3+x)/(3-x)≥0

(x+1)/(3-x)≥0 ⇒

-∞_____-_____-1_____+____3____-_____+∞

x∈[-1;3]

Ответ: x∈[-1;5].

Answer 3

Для решения неравенств с модулем, нам нужно рассмотреть два случая: один, когда выражение внутри модуля положительно, и другой, когда оно отрицательно. Затем мы найдем области значений переменной x, которые удовлетворяют неравенству.

Неравенство: $\frac{4} {|3x - 6| + 3} \geq \frac{1}{3}$

Шаг 1: Разбиваем на два случая внутри модуля:

a) $3x - 6 > 0$, что влечет $x > 2$

b) $3x - 6 < 0$, что влечет $x < 2$

Шаг 2: Рассмотрим первый случай ($x > 2$):

$\frac{4}{3x - 6 + 3} \geq \frac{1}{3}$

Упростим неравенство:

$\frac{4}{3x - 3} \geq \frac{1}{3}$

Теперь умножим обе стороны на $3(3x - 3)$ (здесь мы уверены, что $3x - 3 > 0$, так как $x > 2$):

$4 \cdot 3 \geq 3x - 3$

$12 \geq 3x - 3$

$15 \geq 3x$

$x \leq 5$

Шаг 3: Рассмотрим второй случай ($x < 2$):

$\frac{4}{-(3x - 6) + 3} \geq \frac{1}{3}$

Упростим неравенство:

$\frac{4}{9 - 3x} \geq \frac{1}{3}$

Теперь умножим обе стороны на $3(9 - 3x)$ (здесь мы уверены, что $9 - 3x > 0$, так как $x < 2$):

$4 \cdot 3 \geq 9 - 3x$

$12 \geq 9 - 3x$

$3x \geq -3$

$x \geq -1$

Шаг 4: Объединим оба диапазона значений для $x$:

$-1 \leq x \leq 5$

Таким образом, решением данного неравенства является интервал $[-1, 5]$, то есть все значения $x$, лежащие в этом интервале, удовлетворяют исходному неравенству.