Question

Решите неравенство: (x^2+2x-8)×|x^2-36|<=0

Answer 1

Ловите решение. Это простое, но немного tricky неравенство. Неотрицательными модуль при нестрогом неравенстве даёт два корня, которые легко забыть в решении. Удачи вам!

Answer 2

Для решения данного неравенства, нужно разбить его на отдельные части, так как модуль |x^2-36| может быть положительным или равным нулю для разных значений x. Давайте начнем с разбиения:

1. x^2 + 2x - 8 ≤ 0 и |x^2 - 36| ≤ 0
2. x^2 + 2x - 8 ≥ 0 и |x^2 - 36| ≤ 0
3. x^2 + 2x - 8 ≤ 0 и |x^2 - 36| ≥ 0
4. x^2 + 2x - 8 ≥ 0 и |x^2 - 36| ≥ 0

Начнем с первого случая:

1. x^2 + 2x - 8 ≤ 0 и |x^2 - 36| ≤ 0

Для первого неравенства x^2 + 2x - 8 ≤ 0, найдем корни уравнения:

x^2 + 2x - 8 = 0

Используем квадратное уравнение или факторизацию:

(x + 4)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = -4 и x = 2.

Теперь рассмотрим модуль |x^2 - 36| ≤ 0. Так как модуль не может быть отрицательным, он равен нулю только тогда, когда выражение внутри модуля равно нулю:

x^2 - 36 = 0

(x + 6)(x - 6) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = -6 и x = 6.

Теперь объединим найденные корни и определим интервалы, на которых выполняется первое неравенство:

-∞ < x ≤ -4 -4 ≤ x ≤ 2 2 ≤ x ≤ 6 6 ≤ x < ∞

Теперь рассмотрим второй случай:

2. x^2 + 2x - 8 ≥ 0 и |x^2 - 36| ≤ 0

Для второго неравенства x^2 + 2x - 8 ≥ 0, опять найдем корни уравнения:

x^2 + 2x - 8 = 0

(x + 4)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = -4 и x = 2.

Из модуля |x^2 - 36| ≤ 0 получаем те же корни: x = -6 и x = 6.

Теперь определим интервалы, на которых выполняется второе неравенство:

-4 ≤ x ≤ 2

Теперь рассмотрим третий случай:

3. x^2 + 2x - 8 ≤ 0 и |x^2 - 36| ≥ 0

Для первого неравенства x^2 + 2x - 8 ≤ 0, опять найдем корни уравнения:

x^2 + 2x - 8 = 0

(x + 4)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = -4 и x = 2.

Модуль |x^2 - 36| ≥ 0 всегда положителен или равен нулю для любых значений x.

Теперь определим интервалы, на которых выполняется третье неравенство:

-∞ < x ≤ -4 -4 ≤ x ≤ 2

Теперь рассмотрим четвертый и последний случай:

4. x^2 + 2x - 8 ≥ 0 и |x^2 - 36| ≥ 0

Для второго неравенства x^2 + 2x - 8 ≥ 0, опять найдем корни уравнения:

x^2 + 2x - 8 = 0

(x + 4)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = -4 и x = 2.

Модуль |x^2 - 36| ≥ 0 также всегда положителен или равен нулю для любых значений x.

Теперь определим интервал, на котором выполняется четвертое неравенство:

-∞ < x < ∞

Теперь объединим результаты всех четырех случаев:

-∞ < x ≤ -4 -4 ≤ x ≤ 2 2 ≤ x ≤ 6 6 ≤ x < ∞

Таким образом, это и есть окончательное решение неравенства. Значения x из указанных интервалов удовлетворяют исходному неравенству.