Question

Решите уравнение cos(2x)+2cos(x)-3=0

Answer 1

cos2x = cos²x - sin²x = cos²x - (1 - cos²x) = cos²x - 1 + cos²x = 2cos²x - 1

cos2x + 2cosx - 3 = 0

2cos²x - 1 + 2cosx - 3 = 0

2cos²x + 2cosx - 4 = 0

Замена t = cosx

2t² + 2t - 4 = 0 | :2

t² + t - 2 = 0

t = 1, t = -2

Обратная замена:

cosx = -2 -- -1 < cosa < 1, уравнение не имеет корней

cosx = 1 ⇒ x = 2πk, где k∈Z

Ответ: 2πk, где k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) + 2cos(x) - 3 = 0, давайте попробуем привести его к более простой форме. Обратим внимание на то, что у нас есть два косинуса в уравнении.

Мы знаем, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Подставим это в уравнение:

2cos^2(x) - 1 + 2cos(x) - 3 = 0

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

2cos^2(x) + 2cos(x) - 4 = 0

Для удобства, разделим все на 2:

cos^2(x) + cos(x) - 2 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизуем:

(cos(x) - 1)(cos(x) + 2) = 0

Таким образом, получаем два уравнения:

1. cos(x) - 1 = 0
2. cos(x) + 2 = 0

Решим каждое из них:

1. cos(x) - 1 = 0 cos(x) = 1

   Решение 1: x = arccos(1) = 0 (или x = 2πk, где k - целое число)

2. cos(x) + 2 = 0 cos(x) = -2

Косинус значения не может быть меньше или равен -1, поэтому это уравнение не имеет действительных решений.

Итак, уравнение cos(2x) + 2cos(x) - 3 = 0 имеет одно действительное решение x = 0 и не имеет других действительных решений.