Question

В параллелограмме А В С D диагонали А С и В D пересекаются в точке О.Докажите, что площадь параллелограмма А В С D в четыре раза больше площади треугольника А О D

Answer 1

Проведём высоту через точку О с стороны BC к DА и обозначим точками K и M ( точка К на стороне ВС, а точка M на стороне DА )

KO = OM

OM = 1/2 * KM

S (ABCD) = BC * KM (за формулой)

S (AOD) = 1/2 * AD * OM = 1/2 * AD * 1/2 * KM = S (ABCD) / 4 ( в 4 раза ) (4 потому что 1/2 * 1/2 = 1/4)

P.S. Точки у меня нарисованы так:

B C

A D

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма и треугольника.

Дано: Параллелограмм АВСD, диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.

Нам нужно доказать, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD.

Для начала рассмотрим треугольники AOD и BOC.

Заметим, что треугольники AOD и BOC равны по двум сторонам и углу, так как их общая сторона – это диагональ AC, и она равна сама себе, и угол между диагоналями – это угол между противоположными сторонами параллелограмма, который также равен.

Теперь обратим внимание на то, что AOD и BOC – это две трети параллелограмма ABCD, так как оба треугольника имеют общую сторону AO, а их другие две стороны являются диагоналями параллелограмма.

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей треугольников AOD и BOC.

S(ABCD) = S(AOD) + S(BOC)

Так как треугольники AOD и BOC равны, то:

S(AOD) = S(BOC)

Подставим обратно в исходное уравнение:

S(ABCD) = 2 * S(AOD)

Теперь заметим, что на самом деле параллелограмм ABCD состоит из четырех треугольников AOD (достаточно провести параллельные диагонали).

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна четырём площадям треугольника AOD:

S(ABCD) = 4 * S(AOD)

И это и есть то, что нам нужно было доказать.

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD.