Question

Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый член первой прогрессии равны соответственно 7 и -5. У второй прогрессии ервый член равен нулю, а последний - 3,5. Найти сумму членов второй прогрессии, если известно, что третьи члены обоих прогрессий равны между собой

Answer 1

1) разберемся с первой прогрессией.

а1=7, а5=-5

an=a1+(n-1)d - формула n-ного члена арифм.прогрессии. Используя формулу, вычислим d.

а5=7+4d=-5

d=-3.

Зная d, определим третий член прогрессии. {7;4;1;-2;-5...} - первая прогрессия

2) Зная третий член, найдем d.

a3=0+2d=1

d=0,5. Составим вторую прогрессию до последнего члена, чтобы узнать его номер: {0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5} всего 8 членов. Теперь, используя формулу суммы, решим задачу.

S= [n(a1+an)] / 2

S= [8(0+3,5)]/2 = 14

Answer 2

Пусть первая арифметическая прогрессия имеет общий шаг (разность) d1, а вторая прогрессия имеет общий шаг (разность) d2. Третий член обеих прогрессий равен между собой, обозначим его как a.

Таким образом, первая прогрессия будет иметь вид: a1 = 7 (первый член) a2 = a + d1 (второй член) a3 = a + 2 * d1 (третий член) a4 = a + 3 * d1 (четвертый член) a5 = -5 (пятый член)

Из условия задачи, вторая прогрессия имеет вид: b1 = 0 (первый член) b2 = a (второй член) b3 = b2 + d2 = a + d2 (третий член) b4 = b3 + d2 = a + d2 + d2 = a + 2 * d2 (четвертый член) b5 = -3.5 (пятый член)

Так как третий член обеих прогрессий равен между собой, то: a + 2 * d1 = a + d2

Теперь рассмотрим сумму всех членов второй прогрессии: Сумма второй прогрессии (Sb) = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 Сумма второй прогрессии (Sb) = 0 + a + (a + d2) + (a + 2 * d2) + (-3.5)

Теперь выразим d2 через a и d1 из уравнения, полученного ранее: a + 2 * d1 = a + d2 d2 = a + 2 * d1 - a d2 = 2 * d1

Теперь заменим d2 в формуле для суммы второй прогрессии: Sb = a + (a + 2 * d1) + (a + 4 * d1) - 3.5

Теперь найдем сумму арифметической прогрессии с первым членом a, количеством членов n и шагом d: S = (n/2) * (2 * a + (n - 1) * d)

В нашем случае n = 5 (поскольку в прогрессии 5 членов), а d1 = d2/2: Sb = (5/2) * (2 * a + (5 - 1) * (2 * d1)) - 3.5

Учитывая, что первый член первой прогрессии a1 = 7, мы знаем, что a = a1 - d1: a = 7 - d1

Теперь заменим a в формуле для суммы второй прогрессии: Sb = (5/2) * (2 * (7 - d1) + (5 - 1) * (2 * d1)) - 3.5

Упростим выражение: Sb = (5/2) * (14 - 2 * d1 + 8 * d1) - 3.5 Sb = (5/2) * (14 + 6 * d1) - 3.5 Sb = (5/2) * 14 + (5/2) * 6 * d1 - 3.5 Sb = 35 + 15 * d1 - 3.5 Sb = 31.5 + 15 * d1

Теперь, чтобы найти сумму членов второй прогрессии (Sb), нам нужно найти значение d1 (шага первой прогрессии).

Известно, что a3 (третий член первой прогрессии) равен a (третьему члену второй прогрессии): a + 2 * d1 = a + d2 7 + 2 * d1 = a + 2 * d1

Теперь решим уравнение: 2 * d1 = 0 d1 = 0

Таким образом, мы получили, что шаг первой прогрессии d1 равен 0.

Теперь, используя найденное значение d1, найдем сумму членов второй прогрессии (Sb): Sb = 31.5 + 15 * 0 Sb = 31.5

Таким образом, сумма членов второй арифметической прогрессии равна 31.5.