Question

Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены первой прогрессии равны соответственно 7 и -5. У второй прогрессии первый член равен 0, а последний член равен 3,5. Найти сумму членов второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих прогрессий равны между собой.

Answer 1

Третьи члены прогрессии примем за X
первая прогрессия:
а1=7
а3=х
а5=-5
вторая
а1=0
а3=х
аn=3.5
.............
из первой прогрессии можно найти d
an=a1+d*(n-1)
a5=a1+d*(5-1)
a5=a1+d*4
-5=7+4d
-5-7=4d
4d=-12
d=-12/4
d=-3
найдем по этой же формуле а3(х)
a3=a1+d*(3-1)
a3=7+(-3)*2
а3=1
теперь вторая прогрессия выглядит так:
а1=0
а3=1
аn=3.5 
Теперь из второй прогрессии можно найти d
an=a1+d*(n-1)
a3=a1+d*(3-1)
1=0+d*2
2d=1
d=0.5
выясним номер последнего члена второй арифм. прогрессии
an=a1+d*(n-1)
3.5=0+0.5*(n-1)
3.5=0.5*(n-1)
n-1=3.5/0.5
n-1=7
n=7+1
n=8
сумма n членов арифм. прогрессии:
Sn=(a1+an/2)*n 
Sn=(0+3.5/2)*8 
Sn=1.75*8
Sn=14

Answer 2

Обозначим первую прогрессию через $a_1 + d_1n$ и вторую прогрессию через $a_2 + d_2n$, где $a_1$ и $d_1$ — первый член и разность первой прогрессии, а $a_2$ и $d_2$ — первый член и разность второй прогрессии соответственно.

Из условия задачи имеем: \begin{align*} a_1 + 4d_1 &= 7, \ a_1 + 8d_1 &= -5, \ a_2 &= 0, \ a_2 + (n-1)d_2 &= 3.5, \ a_1 + 2d_1 &= a_2 + 2d_2. \end{align*}

Решая систему уравнений, находим $a_1 = -6$, $d_1 = 3$, $a_2 = 0$, $d_2 = 7/6$. Тогда третий член обеих прогрессий равен $a_1 + 2d_1 = -6 + 2 \cdot 3 = 0$, что соответствует первому члену второй прогрессии.

Таким образом, сумма членов второй прогрессии равна \begin{align*} \frac{(a_2 + a_2 + (n-1)d_2) \cdot n}{2} &= \frac{(0 + 0 + (n-1) \cdot \frac{7}{6}) \cdot n}{2} \ &= \frac{(n-1) \cdot 7n}{12}. \end{align*}

Ответ: $\frac{(n-1) \cdot 7n}{12}$.