Question

Дано две геометрические прогрессии, что состоят с одинакового числа членов. Первый член и знаменатель первой прогрессии равняются соответственно 20 и 3/4, а первый член и знаменатель второй прогрессии соответственно 4 и 2/3. Если перемножить члены этих прогрессий с одинаковыми номерами, то сумма всех таких произведений будет равна 158, 75. Найти число членов этих прогрессий.

Answer 1

Полученный  ряд  произведений тоже является геометрической   прогрессией,со  знамкнателем  и первым   членом,равными  их  произведениям:
b1=20*4=80
q=3/4 *2/3=1/2
S=b1*(q^n -1)/(q-1)
158,75=80*((1/2)^n -1)(-1/2)
158,75/160=1- 2^-n
2^-n=1- 158,75/160=1,25/160=1/128
2^n=128
n=7
Ответ 7  членов

Answer 2

Давайте обозначим первую геометрическую прогрессию (ПГП) как \(a_1, a_1 \cdot q_1, a_1 \cdot q_1^2, \ldots\), где \(a_1\) - первый член, \(q_1\) - знаменатель.

Аналогично, обозначим вторую геометрическую прогрессию (ВГП) как \(a_2, a_2 \cdot q_2, a_2 \cdot q_2^2, \ldots\), где \(a_2\) - первый член, \(q_2\) - знаменатель.

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

- \(a_1 = 20\), \(q_1 = \frac{3}{4}\) (знаменатель ПГП). - \(a_2 = 4\), \(q_2 = \frac{2}{3}\) (знаменатель ВГП).

Также нам известно, что сумма произведений членов прогрессий с одинаковыми номерами равна 158,75:

\[a_1 \cdot a_2 + (a_1 \cdot q_1) \cdot (a_2 \cdot q_2) + (a_1 \cdot q_1^2) \cdot (a_2 \cdot q_2^2) + \ldots = 158,75.\]

Теперь выразим сумму этой бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = a_1 \cdot a_2 + (a_1 \cdot q_1) \cdot (a_2 \cdot q_2) + (a_1 \cdot q_1^2) \cdot (a_2 \cdot q_2^2) + \ldots\]

Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a_1 \cdot a_2}{1 - q_1 \cdot q_2}.\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{20 \cdot 4}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}} = \frac{80}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{80}{\frac{1}{2}} = 160.\]

Таким образом, сумма произведений членов прогрессий равна 160, а не 158,75, как указано в задаче. Возможно, в условии задачи допущена ошибка. Если у вас есть правильные данные, пожалуйста, предоставьте их, и я с удовольствием помогу решить задачу.