Question

Найдите все значения а ,при каждом из которых неравенство y= x^2-4x+a (меньше либо равно ) 10 выполняется для всех x [ a, a.+5]

Answer 1

x^2 - 4x + a ≤ 10; x € [a; a+5]
x^2 - 4x + (a-10) ≤ 0
D/4 = (4/2)^2 - 1(a-10) = 4 - (a-10) = 14 - a
Если решением неравенства является промежуток, то D/4 > 0.
Отсюда а < 14.
x1 = 2 - √(14-a) ≤ a
x2 = 2 + √(14-a) ≥ a+5
Тогда решение неравенства
x € [x1; x2] содержит промежуток [a; a+5]
Рeшаем эти неравенства
1) √(14-a) ≥ 2 - a
Для a ≤ 2 это неравенство выполнчется при любых а.
Для a € (2; 14] возводим в квадрат.
14 - a ≥ a^2 - 4a + 4
a^2 - 3a - 10 ≤ 0
(a-5)(a+2) ≤ 0
a1 =-2 < 2, не подходит;
a2 = 5 > 2, подходит
a € (-oo; 5]
2) √(14-a) ≥ a+3
Для a ≤ -3 это неравенство выполнено при любом а.
Для a € (-3; 14] возводим в квадрат.
14 - a ≥ a^2 + 6a + 9
a^2 + 7a - 5 ≤ 0
D = 49 + 4*5 = 69
a1 = (-7 - √69)/2 < -3, не подходит.
a2 = (-7 + √69)/2 > -3, подходит.
a € (-oo; (-7+√69)/2]
3) Подводим итог
(-7+√69)/2 < 5
Оба неравенства выполняются при
a € (-oo; (-7+√69)/2]

Answer 2

Для того чтобы найти все значения а, при которых неравенство y = x^2 - 4x + a ≤ 10 выполняется для всех x в интервале [a, a + 5], нужно рассмотреть граничные случаи, когда неравенство будет равенством на границах интервала, и определить условия для которых оно будет выполняться внутри интервала.

На границах интервала:

1. При x = a: y = a^2 - 4a + a = a^2 - 3a.

2. При x = a + 5: y = (a + 5)^2 - 4(a + 5) + a = a^2 + 10a + 25 - 4a - 20 + a = a^2 + 7a + 5.

Теперь для того чтобы неравенство выполнялось внутри интервала [a, a + 5], необходимо убедиться, что оно выполняется на всем интервале (a, a + 5) и на границах.

Для a < a + 5:

1. y = a^2 - 3a < a^2 + 7a + 5 для всех a < a + 5, потому что a^2 + 7a + 5 > 0 для всех действительных a.
2. Также, чтобы y = a^2 - 3a ≤ 10 выполнялось на всем интервале, необходимо, чтобы a^2 - 3a - 10 ≤ 0.

Теперь решим уравнение: a^2 - 3a - 10 = 0

Факторизуем: (a - 5)(a + 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: a = 5 и a = -2.

Итак, неравенство y = x^2 - 4x + a ≤ 10 выполняется для всех x в интервале [a, a + 5], когда a принимает значения: а) a ≤ -2, б) a ≥ 5.

Если a лежит между -2 и 5, то неравенство не будет выполняться на всем интервале.