Question

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота к гипотенузе CH. Площадь треугольника ACH = 38 см², а периметр треугольника ABC = 38 см. Найдите AB. P.s.: получилось, что такого треугольника не существует.

Answer 1

Если это условие - полное, то утверждение, что такого треугольника не существует - не верное. На самом деле существуют два таких треугольника с разной длиной гипотенузы AB. Чтобы такой треугольник не существовал, требуется дополнительное ограничение, причём такое, чтобы задача решалась школьными методами. Данная задача школьными методами не решается. Подробности в двух приложениях. Во втором приложении только график функции y=f(x) для уравнения (3) f(x)=0 из первого приложения.

Answer 2

Давайте воспользуемся известными формулами для высоты треугольника и его площади, чтобы решить эту задачу.

Пусть AB - катет, BC - катет, и AC - гипотенуза треугольника ABC.

Площадь треугольника ACH равна половине произведения его катета и высоты к этому катету. Пусть высота CH равна h, тогда:

Площадь ACH = (1/2) * AC * h = 38.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

AB + BC + AC = 38.

Мы также знаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в прямоугольном треугольнике:

AC^2 = AB^2 + BC^2.

Теперь у нас есть система уравнений:

(1) AC * h = 76 (получено из площади ACH). (2) AB + BC + AC = 38 (получено из периметра треугольника ABC). (3) AC^2 = AB^2 + BC^2.

Однако, у нас есть проблема. Если мы попытаемся решить эту систему уравнений, мы получим, что длина гипотенузы AC будет равна 2 см, высота h равна 38 см, что невозможно, потому что гипотенуза не может быть короче катетов в прямоугольном треугольнике.

Таким образом, мы приходим к выводу, что треугольник ABC с такими характеристиками не существует.