Question

Помогите вычислить определенный интеграл. Пределы от -п/2 до п. |cosx|dx

Answer 1

$\displaystyle \int\limits^\pi_{-\frac{\pi}{2}} {|cosx|} \, dx =\int\limits^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}} {cosx} \, dx-\int\limits^\pi_{\frac{\pi}{2}} {cosx} \, dx=\\\\ = (sinx)|^\frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}-(sinx)|^\pi_{\frac{\pi}{2}} =1+1-0+1=3$

Ответ: 3

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла ∫[a, b] |f(x)| dx, где a и b - пределы интегрирования, нужно разбить интервал [a, b] на участки, на которых функция f(x) имеет одинаковый знак. Затем проинтегрировать абсолютное значение функции на каждом из этих участков и сложить результаты.

В данном случае функция |cos(x)| имеет разные значения на интервалах (-π/2, 0) и (0, π/2). Поскольку |cos(x)| = cos(x) на (0, π/2), а |cos(x)| = -cos(x) на (-π/2, 0), мы можем разделить интеграл на две части:

∫[-π/2, π/2] |cos(x)| dx = ∫[-π/2, 0] |cos(x)| dx + ∫[0, π/2] |cos(x)| dx

Интегрируем каждую часть по отдельности:

1. ∫[-π/2, 0] |cos(x)| dx: На этом интервале |cos(x)| = -cos(x), поэтому интеграл равен: ∫[-π/2, 0] |cos(x)| dx = ∫[-π/2, 0] (-cos(x)) dx

Интегрируем -cos(x): ∫[-π/2, 0] (-cos(x)) dx = [sin(x)]|[-π/2, 0] = sin(0) - sin(-π/2) = 0 - (-1) = 1

2. ∫[0, π/2] |cos(x)| dx: На этом интервале |cos(x)| = cos(x), поэтому интеграл равен: ∫[0, π/2] |cos(x)| dx = ∫[0, π/2] cos(x) dx

Интегрируем cos(x): ∫[0, π/2] cos(x) dx = [sin(x)]|[0, π/2] = sin(π/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Теперь суммируем результаты двух частей: ∫[-π/2, π/2] |cos(x)| dx = ∫[-π/2, 0] |cos(x)| dx + ∫[0, π/2] |cos(x)| dx = 1 + 1 = 2

Таким образом, определенный интеграл от |cos(x)| на интервале от -π/2 до π/2 равен 2.