Question

Вася и Петя по очереди заменяют в уравнении x4+*х3+*х2+*х+*=0 один знак * на некоторое число. Первым замену делает Вася. Петя хочет получить уравнение, которое имеет корень. Может ли Вася ему помешать?

Answer 1

Не может.
Было написано x^4 + *x^3 + *x^2 + *x + * = 0
Должно получиться x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Вася и Петя ставят каждый по два числа.
Знаки + на - менять нельзя, значит, все коэфф. будут больше 0.
Я поизучал в Вольфрам Альфе эту функцию при разных коэфф.
Если поставить только свободный член, получится
x^4 + x^3 + x^2 + x + d = 0
При любом d > 0 это уравнение корней не имеет.
Значит, Васе, который хочет, чтобы корней не было, нужно начать со свободного члена. И поставить его как можно больше, чтобы график проходил выше.
Но Петя всегда может ему помешать, если поставит соответствуюший коэфф. при x^3 или при x.
Например, если Вася поставит d=100, то Пете достаточно поставить a=7 или c=52, чтобы уравнение имело 2 корня.
Если же Вася решит начать с b и поставит, например, b=100, то Пете достаточно поставить a=20. Уравнение
x^4 + 20x^3 + 100x^2 + x + 1 = 0
Имеет 2 корня.
Конечно, в этом случае все зависит еще от d, который Вася тоже может поставить побольше, но Петя это компенсирует коэфф с.

Answer 2

Да, Вася может помешать Пете получить уравнение с корнем. Для этого Васе нужно заменить все знаки * на одно и то же число, которое делит коэффициент при x^4, x^3, x^2 и x нацело, но не делит свободный член (константу) без остатка.

Уравнение, которое имеет корень, должно удовлетворять условию, что подстановка корня вместо x равняется нулю. Если Вася выбирает число, которое делит все коэффициенты нацело, уравнение будет иметь общий множитель (x - корень), и подстановка корня даст ноль.

Однако, если уравнение имеет общий множитель (x - корень) и Вася выбирает число, которое делит свободный член без остатка, то при подстановке корня в уравнение значение будет равно нулю. Таким образом, Пете будет сложнее получить уравнение с корнем.

Пример: Допустим, исходное уравнение: x^4 + x^3 + x^2 + x + * = 0 Возможная замена Васи: x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 = 0 Если корень уравнения равен x = -1, то при подстановке: (-1)^4 + 2*(-1)^3 + 2*(-1)^2 + 2*(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 - 2 + 2 = 1 ≠ 0 Таким образом, уравнение не имеет корня.

Однако, если Вася выбирает число, которое делит свободный член без остатка, например, x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 4 = 0, то при подстановке корня x = -1 получим: (-1)^4 + 2(-1)^3 + 2*(-1)^2 + 2*(-1) + 4 = 1 - 2 + 2 - 2 + 4 = 3 ≠ 0 Уравнение также не имеет корня, но Пете будет сложнее это определить, так как уравнение имеет общий множитель (x + 1), и значение при подстановке нулевое.

Таким образом, Вася может помешать Пете получить уравнение с корнем, если выберет подходящее число для замены знака *.