Question

Петя и Вася по очереди пишут на доску дроби вида 1/n, где n — натуральное, начинает Петя. Петя за ход пишет только одну дробь, а Вася за первый ход — одну, за второй ход — две, и так каждым следующим ходом на одну дробь больше. Вася хочет, чтобы после какого-то хода сумма всех дробей на доске была натуральным числом. Сможет ли Петя помешать ему?

Answer 1

Ответ:

14 ходов , петя может выиграть потому что он ходит первым

Answer 2

Петя может помешать Васе.

Давайте рассмотрим, как будут выглядеть ходы Пети и Васи:

1. Петя: 1/2
2. Вася: 1/2, 1/3
3. Петя: 1/2, 1/3, 1/4
4. Вася: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
5. Петя: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
6. Вася: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7
7. ...

Каждый раз, когда Вася добавляет дробь 1/n, он добавляет числитель равный 1, а значит, числитель каждой дроби на доске увеличивается на 1.

Поскольку числитель каждой дроби равен 1, сумма всех дробей на доске будет равна количеству дробей. То есть, сумма будет равна количеству ходов, которые сделали Петя и Вася.

Давайте предположим, что после хода номер N сумма дробей станет натуральным числом. То есть, сумма первых N дробей будет равна S (натуральному числу). Сумма первых N дробей равна 1/2 + 1/3 + ... + 1/(N+1), что можно записать как S = 1/2 + 1/3 + ... + 1/(N+1).

Если мы добавим еще одну дробь 1/(N+2), то её числитель будет равен 1, и сумма станет S + 1/(N+2), что уже не является натуральным числом (так как S - натуральное, и 1/(N+2) - рациональное, но не натуральное число).

Таким образом, Петя может каждый раз добавлять дроби таким образом, чтобы сумма дробей на доске оставалась рациональным числом и не становилась натуральным числом, что помешает Васе достичь своей цели.