Question

Доказать, что при любом натруальном n число 5^n-3^n+2n делится 4

Answer 1

По мат индукции,  положим что выражение 5^n-3^n+2n делится на 4 при n, тогда оно делится на 4 при n+1. Проверка при n=1 верна, тогда переход к n+1  

5*5^n-3*3^n+2n+2 = 5*(5^n-3^n+2n)-8n+2(3^n+1)  

То есть надо доказать что (3^n+1) делится на 2, что верно так как 3^n дает остаток 1 при делений на 2 , тогда 3^n+1 делится на 2 , значит, и все выражение делится на 4.  

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы воспользуемся методом математической индукции. Для этого нужно выполнить два шага:

Шаг 1: Проверка базового случая Шаг 2: Предположение индукции и доказательство для n+1

Шаг 1: Проверка базового случая (n = 1): Подставим n = 1 в выражение 5^n - 3^n + 2n и проверим, делится ли оно на 4:

5^1 - 3^1 + 2*1 = 5 - 3 + 2 = 4

4 делится на 4 без остатка, следовательно, базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции и доказательство для n+1: Предположим, что для некоторого натурального числа k, выражение 5^k - 3^k + 2k делится на 4:

5^k - 3^k + 2k = 4m, где m - целое число.

Теперь докажем, что утверждение верно для (k+1). Подставим n = k+1 в выражение 5^n - 3^n + 2n:

5^(k+1) - 3^(k+1) + 2(k+1)

Мы можем представить 5^(k+1) и 3^(k+1) в виде произведений:

5^(k+1) = 5^k * 5 3^(k+1) = 3^k * 3

Подставим их в выражение:

5^k * 5 - 3^k * 3 + 2k + 2

Теперь воспользуемся предположением индукции, заменив 5^k - 3^k + 2k на 4m:

4m + 5 - 3 + 2

Теперь сгруппируем слагаемые:

(4m + 5 - 3) + 2

4m + 2

Теперь выносим общий множитель:

2(2m + 1)

Таким образом, мы получили выражение, которое является произведением 2 и (2m + 1), а значит, делится на 2 без остатка.

Мы доказали, что если выражение 5^k - 3^k + 2k делится на 4 для некоторого натурального k, то оно также делится на 4 для (k+1).

Итак, по методу математической индукции мы доказали, что для любого натурального числа n выражение 5^n - 3^n + 2n делится на 4.