Question

Доказать, что n²+3n+2 ни при каких n ∈ N не является квадратом натурального числа

Answer 1

Представим данное выражение в виде произведения n²+3n+2=(n+1)(n+2). По определению квадрат любого числа есть произведение числа само на себя: а²=а*а, т.е. а=а. А в полученном выражении n+1≠n+2 при любом n, в том числе натуральном, т.е.квадрат не существует. чтд

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте предположим, что существует натуральное число n такое, что n² + 3n + 2 является квадратом натурального числа. То есть, существует такое натуральное число m, что:

n² + 3n + 2 = m²

Теперь рассмотрим левую сторону уравнения. Мы можем переписать ее следующим образом:

n² + 3n + 2 = n² + 2n + n + 2 = (n² + 2n) + (n + 2) = n(n + 2) + (n + 2) = (n + 2)(n + 1)

Теперь уравнение можно записать как:

(n + 2)(n + 1) = m²

Теперь давайте рассмотрим два соседних натуральных числа: n и n + 1. Они являются последовательными числами, что означает, что они взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1). Из этого следует, что (n + 2) и (n + 1) также взаимно просты.

Теперь предположим, что (n + 2) и (n + 1) оба являются квадратами натуральных чисел. То есть, существуют натуральные числа x и y такие, что:

n + 2 = x² и n + 1 = y²

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

(x² - y²) = (n + 2) - (n + 1) = 1

Факторизуем разность квадратов:

(x - y)(x + y) = 1

Так как x и y — натуральные числа, и их разность равна 1, то у них может быть только одно возможное решение: x = 1 и y = 0. Но такое решение не удовлетворяет условию (x > y ≥ 0).

Таким образом, мы пришли к противоречию, предположив, что (n + 2) и (n + 1) оба являются квадратами натуральных чисел. Это означает, что исходное предположение неверно, и n² + 3n + 2 не является квадратом натурального числа при любом значении n ∈ N.