Question

Решите уравнение√2sin²(п/2+x) = - cos x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте последовательно выполним несколько шагов:

1. Заменим значение sin²(π/2 + x) с помощью тригонометрической тождества: sin²(π/2 + x) = 1 - cos²(π/2 + x).

2. Заменим также cos(π/2 + x) с помощью другого тригонометрического тождества: cos(π/2 + x) = -sin(x).

Теперь уравнение примет вид: √2(1 - cos²(π/2 + x)) = -cos(x).

3. Подставим cos(π/2 + x) и упростим уравнение: √2(1 - (-sin²(x))) = -cos(x), √2(1 + sin²(x)) = -cos(x).

4. Возведем обе части уравнения в квадрат для избавления от корня: 2(1 + sin²(x))² = cos²(x).

5. Раскроем скобки: 2(1 + 2sin²(x) + sin⁴(x)) = cos²(x).

6. Заменим sin²(x) на (1 - cos²(x)), используя тригонометрическое тождество sin²(x) + cos²(x) = 1: 2(1 + 2(1 - cos²(x)) + (1 - cos²(x))²) = cos²(x).

7. Раскроем квадрат и упростим: 2(1 + 2 - 2cos²(x) + 1 - 2cos²(x) + cos⁴(x)) = cos²(x), 2(3 - 4cos²(x) + cos⁴(x)) = cos²(x).

8. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: 2cos⁴(x) - 4cos²(x) + cos²(x) - 6 = 0.

9. Теперь получившееся уравнение является квадратным относительно cos²(x). Проведем замену y = cos²(x):

2y² - 4y + 1 - 6 = 0, 2y² - 4y - 5 = 0.

10. Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным уравнением:

y = (4 ± √(4² - 4 * 2 * (-5))) / (2 * 2), y = (4 ± √(16 + 40)) / 4, y = (4 ± √56) / 4.

11. Продолжим решение для y: y₁ = (4 + √56) / 4, y₁ = (4 + 2√14) / 4, y₁ = 1 + √14 / 2.

y₂ = (4 - √56) / 4, y₂ = (4 - 2√14) / 4, y₂ = 1 - √14 / 2.

12. Теперь найдем значения cos(x) для каждого из найденных y: cos²(x) = y₁, cos(x) = ±√(1 + √14 / 2).

cos²(x) = y₂, cos(x) = ±√(1 - √14 / 2).

Таким образом, уравнение √2sin²(π/2 + x) = -cos(x) имеет четыре решения:

1. x = arccos(√(1 + √14 / 2)).
2. x = -arccos(√(1 + √14 / 2)).
3. x = arccos(√(1 - √14 / 2)).
4. x = -arccos(√(1 - √14 / 2)).

Обратите внимание, что знак ± указывает на то, что для каждого из найденных значений cos(x) существует два соответствующих значения x.