Question

Найти минимальное значение f (x) = 3x ^ 4-8x ^ 3 + 6x ^ 2-12 на [-3,3]

Answer 1

$f(x) = 3x^{4} - 8x^{3} + 6x^{2} - 12$

$x \in [-3; \ 3]$

$f'(x) = (3x^{4} - 8x^{3} + 6x^{2} - 12)' = 12x^{3} - 24x^{2} + 12x$

$12x^{3} - 24x^{2} + 12x = 0$

$12x(x^{2} -2x + 1)=0$

$1) \ 12x = 0 \Rightarrow x = 0$

$2) \ x^{2} - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$f(0) = -12$

$f(1) = -11$

$f(-3) = 501$

$f(3) = 69$

$min \ f(x) = f(0) = -12 \\ ^{[-3; 3]}$

Ответ: наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $[-3; \ 3]$ равно $f(0) = -12$

Answer 2

Для нахождения минимального значения функции $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 12$ на интервале $[-3, 3]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции $f(x)$, которые находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Оценить значения функции $f(x)$ в критических точках и на концах интервала $[-3, 3]$.
3. Выбрать наименьшее из полученных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

$12x^3 - 24x^2 + 12x = 0$

$12x(x^2 - 2x + 1) = 0$

$12x(x - 1)^2 = 0$

Критические точки: $x = 0$ и $x = 1$.

Шаг 3: Оценим значения функции $f(x)$ в найденных критических точках и на концах интервала $[-3, 3]$:

Для $x = -3$:

$f(-3) = 3(-3)^4 - 8(-3)^3 + 6(-3)^2 - 12 = 3(81) + 8(27) + 54 - 12 = 243 + 216 + 54 - 12 = 501$

Для $x = 0$:

$f(0) = 3(0)^4 - 8(0)^3 + 6(0)^2 - 12 = 0 - 0 + 0 - 12 = -12$

Для $x = 1$:

$f(1) = 3(1)^4 - 8(1)^3 + 6(1)^2 - 12 = 3 - 8 + 6 - 12 = -11$

Для $x = 3$:

$f(3) = 3(3)^4 - 8(3)^3 + 6(3)^2 - 12 = 3(81) - 8(27) + 54 - 12 = 243 - 216 + 54 - 12 = 69$

Находим наименьшее значение функции: $f(x) = -12$.

Таким образом, минимальное значение функции $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 12$ на интервале $[-3, 3]$ равно -12.