Question

Интеграл от 1 до 2 (dx/(2x+1)^2)

Answer 1

1) Находим первообразную: F(x)=∫dx/(2*x+1)²=1/2*∫d(2*x+1)/(2*x+1)²=-1/[2*(2*x+1)]+C.

2) Искомый интеграл I=F(2)-F(1)=-1/(2*5)+1/(2*3)=-1/10+1/6=1/15. Ответ: 1/15.

Answer 2

Для решения данного интеграла, давайте воспользуемся методом подстановки. Пусть $u = 2x + 1$, тогда $du = 2 dx$.

Теперь заменим переменные в интеграле:

$$\int \frac{dx}{(2x+1)^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2}$$

Интеграл от $\frac{1}{u^2}$ можно вычислить просто:

$$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{u} \right) + C = -\frac{1}{2u} + C$$

Теперь вернемся к исходной переменной:

$$\int \frac{dx}{(2x+1)^2} = -\frac{1}{2(2x+1)} + C$$

Где $C$ - произвольная постоянная.