Question

2cosx-cos^2 x=5 Помогите решить

Answer 1

2cosx-cos²x=5
-cos²x+2cosx-5=0
cos²x-2cosx+5=0
cosx=t€[-1;1]
t²-2t+5=0
D=4-20=-16<0
t€∅=>x€∅

Answer 2

Для решения уравнения 2cos(x) - cos^2(x) = 5, мы можем сначала переписать его в виде одного уравнения, используя тригонометрические тождества. Затем мы решим полученное уравнение. Давайте начнем:

Первое тригонометрическое тождество, которое мы будем использовать, - это тождество двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь давайте заменим cos^2(x) на выражение из тождества:

2cos(x) - (1 - 2sin^2(x)) = 5

Раскроем скобки:

2cos(x) - 1 + 2sin^2(x) = 5

Теперь перенесем все члены уравнения на одну сторону:

2sin^2(x) + 2cos(x) - 6 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Для его решения давайте заменим sin(x) на другую переменную, например, t:

2t^2 + 2t - 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать метод дискриминанта или завершения квадрата. Я воспользуюсь методом дискриминанта:

Дискриминант D квадратного уравнения at^2 + bt + c = 0 равен D = b^2 - 4ac

В нашем случае a = 2, b = 2 и c = -6:

D = 2^2 - 4 * 2 * (-6) = 4 + 48 = 52

Теперь найдем корни уравнения:

t = (-b ± √D) / 2a

t = (-2 ± √52) / (2 * 2)

t = (-2 ± √52) / 4

t = (-2 ± 2√13) / 4

Теперь разобьем это на два уравнения:

1. t = (-2 + 2√13) / 4

2. t = (-2 - 2√13) / 4

3. t = (1 + √13) / 2

4. t = (1 - √13) / 2

Теперь вспомним, что мы заменили sin(x) на t:

1. sin(x) = (1 + √13) / 2
2. sin(x) = (1 - √13) / 2

Так как sin(x) имеет значения только в диапазоне [-1, 1], у нас есть ограничение:

-1 <= sin(x) <= 1

Таким образом, первое уравнение не имеет действительных решений, а второе уравнение дает нам два возможных значения для sin(x):

1. sin(x) = (1 - √13) / 2
2. sin(x) = -1

Теперь найдем соответствующие значения для x:

1. x = arcsin((1 - √13) / 2) ≈ -1.867 радиан ≈ -107.10 градусов (округленно до двух знаков после запятой)
2. x = arcsin(-1) = -π/2 (радиан) = -90 градусов

Итак, уравнение имеет два действительных решения:

1. x ≈ -1.867 радиан ≈ -107.10 градусов
2. x = -π/2 радиан = -90 градусов

Обратите внимание, что это не единственные решения, так как синус имеет периодические значения, но эти два решения будут наименьшими положительными значениями, удовлетворяющими исходное уравнение.