Question

Группе студентов из 30 человек была предложена контрольная работа из трех задач. Первую задачу решили 15 студентов, вторую – 13, третью – 12. Первую и вторую задачи решили 7 человек, первую и третью – 6, вторую и третью – 5 человек. Все три задачи решили 2 студента. Сколько студентов Не решили ни одной задачи

Answer 1

Найдем сколько человек решили хотя бы одну задачу (т.е. или одну, или две, или три):

15+13+12-7-6-5+2=24

Значит, не решили ни одной задачи:

30-24=6 человек

Answer 2

Давайте воспользуемся принципом включений-исключений для решения этой задачи. Принцип включений-исключений помогает нам посчитать количество элементов в объединении нескольких множеств.

Обозначим:

• A: количество студентов, решивших первую задачу (15 человек);
• B: количество студентов, решивших вторую задачу (13 человек);
• C: количество студентов, решивших третью задачу (12 человек);
• A ∩ B: количество студентов, решивших и первую, и вторую задачу (7 человек);
• A ∩ C: количество студентов, решивших и первую, и третью задачу (6 человек);
• B ∩ C: количество студентов, решивших и вторую, и третью задачу (5 человек);
• A ∩ B ∩ C: количество студентов, решивших все три задачи (2 человека).

Мы хотим найти количество студентов, которые не решили ни одной задачи (это множество A' ∩ B' ∩ C').

Применим формулу включений-исключений:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Теперь найдем значения каждого множества:

|A| = 15 |B| = 13 |C| = 12 |A ∩ B| = 7 |A ∩ C| = 6 |B ∩ C| = 5 |A ∩ B ∩ C| = 2

Подставим значения:

|A ∪ B ∪ C| = 15 + 13 + 12 - 7 - 6 - 5 + 2 |A ∪ B ∪ C| = 24

Теперь мы знаем общее количество студентов, которые решили хотя бы одну задачу (множество A ∪ B ∪ C). Осталось найти количество студентов, которые не решили ни одной задачи:

Количество студентов, не решивших ни одной задачи = Общее количество студентов - Количество студентов, решивших хотя бы одну задачу

Количество студентов, не решивших ни одной задачи = 30 - 24 Количество студентов, не решивших ни одной задачи = 6

Ответ: 6 студентов не решили ни одной задачи.