Question

В тесте по дискретной математике приняло участие 40 студентов, им было предложено решить три задачи. Первую решили 20 человек, вторую – 19, третью – 18. Первую и вторую задачи решили 6 человек, первую и третью – 8, вторую и третью – тоже 8. Три студента не решили ни одной задачи. Сколько учащихся решили все задачи?

Answer 1

Решение приложено к снимку:

Answer 2

Давайте обозначим множества студентов, которые решили каждую задачу:

• A: Множество студентов, решивших первую задачу (|A| = 20).
• B: Множество студентов, решивших вторую задачу (|B| = 19).
• C: Множество студентов, решивших третью задачу (|C| = 18).

Также у нас есть информация о тех, кто решил комбинации задач:

• A ∩ B: Множество студентов, решивших и первую и вторую задачу (|A ∩ B| = 6).
• A ∩ C: Множество студентов, решивших и первую и третью задачу (|A ∩ C| = 8).
• B ∩ C: Множество студентов, решивших и вторую и третью задачу (|B ∩ C| = 8).

Теперь нам нужно найти количество студентов, решивших все три задачи, то есть |A ∩ B ∩ C|.

Мы можем воспользоваться формулой для нахождения объединения множеств:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Также нам дано, что три студента не решили ни одной задачи, то есть |A' ∩ B' ∩ C'| = 3 (где A', B', C' - дополнения множеств A, B и C).

Мы знаем, что всего участников было 40:

|A ∪ B ∪ C| + |A' ∩ B' ∩ C'| = 40.

Теперь мы можем записать уравнение:

|A ∪ B ∪ C| + 3 = 40.

Теперь найдем |A ∪ B ∪ C|:

|A ∪ B ∪ C| = 40 - 3 = 37.

Теперь можем найти |A ∩ B ∩ C|:

|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∪ B ∪ C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C|.

|A ∩ B ∩ C| = 20 + 19 + 18 - 37 - 6 - 8 - 8.

|A ∩ B ∩ C| = 55 - 37 = 18.

Таким образом, 18 студентов решили все три задачи.