Question

В предварительном туре школьной олимпиады по математике принимало участие 40 участихся 5-х классов которым предложили решить 3 задачи:№1,№2,№3.Задачу №1 правильно решили 19 учащихся,№2 18 учащихся,№3 также 19 учащихся.Задачи №1 и №2 решили 7 человек,задачи №2 и №3-9 человек,задачи №1 и №3-7 человек,не одной задачи не решили 3 ученика. Сколько учеников решили все задачи?Сколько учащихся решили только 2 задачи?Сколько учащихся решили по одной задаче?

Answer 1

Как то так.............

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, можно использовать метод контингенции. Для этого можно нарисовать таблицу и заполнить ее данными из условия:

Задача	№1	№2	№3
Решатели	19	18	19
№1 и №2	7	7
№2 и №3		9	9
№1 и №3	7		7
Ни одной	3	3	3
Все

Из таблицы можно увидеть, что:

• Задачу №1 решили 19 учеников, а задачи №1 и №2 решили только 7 учеников. Значит, 19 - 7 = 12 учеников решили только задачу №1.

• Аналогично, задачу №3 решили 19 учеников, а задачи №2 и №3 решили только 9 учеников. Значит, 19 - 9 = 10 учеников решили только задачу №3.

• Задачу №2 решили 18 учеников, а задачи №1 и №2 решили только 7 учеников. Значит, 18 - 7 = 11 учеников решили только задачу №2.

• Ни одной задачи не решили 3 ученика. Значит, всего учеников, которые решили хотя бы одну задачу, было 40 - 3 = 37.

• Чтобы найти количество учеников, которые решили все задачи, можно воспользоваться формулой включений и исключений. Обозначим через A, B и C множества учеников, которые решили соответственно задачи №1, №2 и №3. Тогда количество учеников, которые решили хотя бы одну задачу, равно |A ∪ B ∪ C|. При этом |A| = 19, |B| = 18, |C| = 19, |A ∩ B| = 7, |B ∩ C| = 9, |A ∩ C| = 7, и |A ∩ B ∩ C| = x (нам нужно найти x). Тогда:

  |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

  Подставляя известные значения, получаем:

  37 = 19 + 18 + 19 - 7 - 9 - 7 + x,

  откуда x = 4. Значит, 4 ученика реши