Question

Решить производные 1) y=lnx^4 2) y=tg8x 3) y=sin2x+ctgx3

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций:

1. $y = \ln(x^4)$

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования для логарифмической функции:

$\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$

Таким образом:

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(\ln(x^4)) = \frac{1}{x^4} \cdot \frac{d}{dx}(x^4)$

Теперь найдем производную $x^4$:

$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^{4-1} = 4x^3$

Теперь, подставим это обратно в исходное уравнение:

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{1}{x^4} \cdot 4x^3 = 4x^{3-4} = 4x^{-1} = \frac{4}{x}$

Таким образом, производная функции $y = \ln(x^4)$ равна $\frac{4}{x}$.

2. $y = \tan(8x)$

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования для тангенса:

$\frac{d}{dx}(\tan u) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx}$

Таким образом:

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(\tan(8x)) = \sec^2(8x) \cdot \frac{d}{dx}(8x)$

Теперь найдем производную $8x$:

$\frac{d}{dx}(8x) = 8$

Теперь, подставим это обратно в исходное уравнение:

$\frac{d}{dx}(y) = \sec^2(8x) \cdot 8 = 8\sec^2(8x)$

Таким образом, производная функции $y = \tan(8x)$ равна $8\sec^2(8x)$.

3. $y = \sin(2x) + \cot(x^3)$

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться правилами дифференцирования для синуса и котангенса:

$\frac{d}{dx}(\sin u) = \cos u \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}(\cot u) = -\csc^2 u \cdot \frac{du}{dx}$

Таким образом:

$\frac{d}{dx}(y) = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) + \frac{d}{dx}(\cot(x^3))$

Теперь найдем производные:

$\frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\cos(2x)$