Question

Найти сложные производные: 1) y=3^ctg^2*1/x 2)y=arcsin^2(lnx) 3)y=sqrt(e^sin2x)

Answer 1

$1)\; \; y=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\; \; ,\; \; (e^{u})'=e^{u}\cdot u'\; ,\; \; u=ctg^2\frac{1}{x}\\\\y'=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot (ctg^2\frac{1}{x})'=\Big [\; (u^2)'=2\, u\cdot u'\; ,\; u=ctg\frac{1}{x}\; \Big ]=\\\\=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot 2\; ctg\frac{1}{x}\cdot (ctg\frac{1}{x})'=\Big [\; (ctgu)'=-\frac{1}{sin^2u}\cdot u'\; ,\; u=\frac{1}{x}\; ]=\\\\=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot 2\; ctg\frac{1}{x}\cdot \frac{-1}{sin^2\frac{1}{x}}\cdot (\frac{1}{x})'=$

$=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot 2\; ctg\frac{1}{x}\cdot \frac{-1}{sin^2\frac{1}{x}}\cdot \frac{-1}{x^2}=e^{ctg^2\frac{1}{x}}\cdot 2\; ctg\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{sin^2\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}$

$2)\; \; y=arcsin^2(lnx)\; \; ,\; \; \; (u^2)'=2\, u\cdot u'\; ,\; u=arcsin(lnx)\\\\y'=2\, arcsin(lnx)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-ln^2x}}\cdot \frac{1}{x}\\\\\\3)\; \; y=\sqrt{e^{sin2x}}\; \; ,\; \; (\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\; \; ,\; \; u=e^{sin2x}\\\\y'=\frac{1}{2\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot (e^{sin2x})'=\frac{1}{2\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot e^{sin2x}\cdot (sin2x)'=\\\\=\frac{1}{2\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot e^{sin2x}\cdot cos2x\cdot (2x)'=\frac{1}{2\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot e^{sin2x}\cdot cos2x\cdot 2=$

$=\frac{1}{\sqrt{e^{sin2x}}}\cdot e^{sin2x}\cdot cos2x=\sqrt{e^{sin2x}}\cdot cos2x$

Answer 2

Для нахождения сложных производных данных функций, воспользуемся правилами дифференцирования и цепным правилом (правилом дифференцирования сложных функций). Давайте рассмотрим каждую из функций по очереди:

1. y = 3^ctg^2(1/x)

Для начала, перепишем функцию с использованием более привычных обозначений тригонометрических функций:

y = 3^cot^2(1/x)

Теперь продифференцируем эту функцию. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования сложных функций:

dy/dx = d(3^cot^2(1/x))/dx

Мы имеем функцию вида a^u, где a = 3 и u = cot^2(1/x). Применим цепное правило:

dy/dx = ln(a) * a^u * du/dx

dy/dx = ln(3) * 3^cot^2(1/x) * d(cot^2(1/x))/dx

Теперь продифференцируем cot^2(1/x):

d(cot^2(1/x))/dx = d(cot(1/x))^2/dx = 2 * cot(1/x) * d(cot(1/x))/dx

Осталось продифференцировать cot(1/x):

d(cot(1/x))/dx = -csc^2(1/x) * d(1/x)/dx = -csc^2(1/x) * (-1/x^2) = csc^2(1/x) / x^2

Теперь вернемся к исходному выражению:

dy/dx = ln(3) * 3^cot^2(1/x) * 2 * cot(1/x) * csc^2(1/x) / x^2

Таким образом, сложная производная функции y = 3^cot^2(1/x) равна:

dy/dx = 2 * ln(3) * cot(1/x) * csc^2(1/x) / x^2

2. y = arcsin^2(ln(x))

Перепишем функцию с использованием стандартных обозначений:

y = arcsin(ln(x))^2

Продифференцируем функцию:

dy/dx = d(arcsin(ln(x))^2)/dx

Мы имеем функцию вида u^2, где u = arcsin(ln(x)). Применим цепное правило:

dy/dx = 2 * u * du/dx

dy/dx = 2 * arcsin(ln(x)) * d(arcsin(ln(x)))/dx

Теперь продифференцируем arcsin(ln(x)):

d(arcsin(ln(x)))/dx = d(arcsin(u))/du * du/dx

d(arcsin(u))/du = 1 / sqrt(1 - u^2)

du/dx = d(ln(x))/dx = 1/x

Теперь вернемся к исходному выражению:

dy/dx = 2 * arcsin(ln(x)) * (1 / sqrt(1 - ln(x)^2)) * (1/x)

Таким образом, сложная производная функции y = arcsin(ln(x))^2 равна:

dy/dx = 2 * arcsin(ln(x)) / (x * sqrt(1 - ln(x)^2))

3. y = sqrt(e^sin(2x))

Перепишем функцию:

y = (e^sin(2x))^0.5

Продифференцируем функцию:

dy/dx = d((e^sin(2x))^0.5)/dx

Мы имеем функцию вида u^0.5, где u = e^sin(2x). Применим цепное правило:

dy/dx = 0.5 * u^(-0.5) * du/dx

dy/dx = 0.5 * (e^sin(2x))^(-0.5) * d(e^sin(2x))/dx

Теперь продифференцируем e^sin(2x):

d(e^sin(2x))/dx = e^sin(2x) * d(sin(2x))/dx = e^sin(2x) * 2cos(2x)

Теперь вернемся к исходному выражению:

dy/dx = 0.5 * e^sin(2x) * 2cos(2x) * (e^sin(2x))^(-0.5)

dy/dx = cos(2x) * (e^sin(2x))^0.5

Таким образом, сложная производная функции y = sqrt(e^sin(2x)) равна:

dy/dx = cos(2x) * sqrt(e^sin(2x))