Question

Докажите, что 1+2+3+...+2019 делится на 2019.

Answer 1

Это арифметическая прогрессия, с разностью 1 . Найдем ее сумму, (1+2019)*2019/2=2020*2019/2=1010*2019 , очевидно, что это делится на 2019

Answer 2

Докажем, что сумма чисел от 1 до 2019 (1 + 2 + 3 + ... + 2019) делится на 2019 с помощью метода математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При n = 1, сумма равна 1, что делится на 2019 (1 / 2019 = 0, т.е. без остатка).

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого k, сумма чисел от 1 до k делится на 2019 без остатка, т.е. 1 + 2 + 3 + ... + k = m * 2019, где m - некоторое целое число.

Шаг 3: Доказательство Теперь рассмотрим сумму чисел от 1 до (k + 1):

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)

Мы предполагаем, что 1 + 2 + 3 + ... + k делится на 2019, поэтому мы можем записать:

1 + 2 + 3 + ... + k = m * 2019

Теперь добавим (k + 1) к обеим сторонам:

1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = m * 2019 + (k + 1)

Для того чтобы доказать, что 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) делится на 2019, нам нужно показать, что (m * 2019 + (k + 1)) делится на 2019 без остатка.

Мы знаем, что m * 2019 делится на 2019 (предположение индукции), поэтому остается показать, что (k + 1) делится на 2019.

Давайте рассмотрим значение k + 1:

2019 делится на себя без остатка (2019 / 2019 = 1, без остатка). Теперь мы знаем, что k + 1 = 2019 * 1.

Таким образом, k + 1 делится на 2019 без остатка.

Значит, предположение индукции верно для k + 1, и по индукции, оно верно для всех натуральных чисел от 1 до 2019.

Таким образом, сумма чисел от 1 до 2019 (1 + 2 + 3 + ... + 2019) делится на 2019 без остатка.