Question

F(x)=x2-6x+5 исследовать функцию

Answer 1

ДАНО: F(x) = x² - 6x + 5

ИССЛЕДОВАНИЕ.

F(x) = (x - 5)*(x-1) - разложили на множители.

1. Область определения  D(x)=(-∞;+∞) - непрерывная.

2. Пересечение с осью Х - х1 = 1 и х2 = 5.

Положительна - Х∈(-∞;1)∪(5;+∞), отрицательна Х∈(1;5)

3 Пересечение с осью У - F(0) = 5.

4 Первая производная  F'(x) = 2*x - 6 = 0,  х = 3 - точка экстремума  

5. Минимум -  F(3) = - 4

6. Убывает  Х∈(-∞;3), возрастает Х∈(3;+∞)

7. График на рисунке в приложении.

Answer 2

Для того чтобы исследовать функцию F(x) = x^2 - 6x + 5, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения с осями координат.
3. Найти вершину параболы.
4. Найти направление ветвей параболы.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции.
6. Найти экстремумы функции (минимумы и максимумы).
7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции.
8. Найти асимптоты (если они есть).
9. Найти значения функции в крайних точках.

Давайте последовательно выполним каждый из этих шагов:

1. Область определения: Функция F(x) определена для всех действительных чисел, так как квадратичная функция определена на всей числовой прямой.

2. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем F(x) к нулю: x^2 - 6x + 5 = 0

   Решим квадратное уравнение: (x - 1)(x - 5) = 0

   Таким образом, у нас две точки пересечения: (1, 0) и (5, 0).

3. Вершина параболы: Вершина параболы имеет координаты x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В нашем случае, a = 1, b = -6: x = -(-6) / (2 * 1) = 3

   Чтобы найти значение y (F(3)), подставим x = 3 в уравнение: F(3) = 3^2 - 6 * 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, -4).

4. Направление ветвей параболы: Так как коэффициент при x^2 положителен (a = 1), ветви параболы направлены вверх.

5. Интервалы возрастания и убывания: Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно рассмотреть знак производной функции F'(x).

   F'(x) = 2x - 6

   Для нахождения критических точек, приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2x - 6 = 0 x = 3

   Критическая точка у нас одна (x = 3). Теперь проведем знаковый анализ производной вокруг этой точки:

   • Если x < 3, то F'(x) < 0, значит, функция убывает на интервале (-∞, 3).
   • Если x > 3, то F'(x) > 0, значит, функция возрастает на интервале (3, +∞).

6. Экстремумы функции: Мы уже нашли единственный экстремум функции ранее - это минимум в вершине параболы (3, -4).

7. Интервалы выпуклости и вогнутости: Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости, нужно рассмотреть знак второй производной функции F''(x).

   F''(x) = 2

   Вторая производная F''(x) всегда положительна, что означает, что вся функция является выпуклой вверх на всем интервале.

8. Асимптоты: Для квадратичных функций обычно нет асимптотов.

9. Значения функции в крайних точках: Уже нашли точки пересечения с осями координат: F(1) = 0 и F(5) = 0.

Теперь мы завершили исследование функции F(x) = x^2 - 6x + 5. Построим график, чтобы визуально подтвердить результаты исследования: