Question

Вычислить производную f(x)=a^cos2x -2e^sin2x f'(π/4) Подробно написать решение

Answer 1

f(x)=$a^{cos2x}$-$2e^{sin2x}$, f'($\frac{\pi }{4}$)

Производная

f'(x)=($a^{cos2x}$-$2e^{sin2x}$)'=$a^{cos2x} *In*a-4e^{sin2x}*cos2x$

$a^{x} =a^{x}*In*a$

$2e^{sin2x} =2e^{sin2x}*cos2x*2=4e^{sin2x}*cos2x$

Подставляем вместо х=$\frac{\pi }{4}$

$f'(\frac{\pi }{4} )=a^{cos2*\frac{\pi }{4} } *In*a-4e^{sin2*\frac{\pi }{4} }*cos2*\frac{\pi }{4} = a^{cos\frac{\pi }{2} } *In*a-4e^{sin\frac{\pi }{2} } *cos\frac{\pi}{2} =a^{0} *In*a-4e^{1} *0=1*In*a-0=In*a$

$a^{0} =1$

cos90°=$cos\frac{\pi }{2}$=0

sin90°=$sin\frac{\pi }{2}$=1

Ответ $f'(\frac{\pi }{4} )=In*a$

Answer 2

Для вычисления производной функции f(x) = a^cos(2x) - 2e^sin(2x) и её значения в точке x = π/4, выполним следующие шаги.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

Для первого слагаемого a^cos(2x), применим цепное правило дифференцирования: d/dx [a^u] = a^u * ln(a) * du/dx

где u = cos(2x), a - постоянная.

Производная первого слагаемого: (d/dx)[a^cos(2x)] = a^cos(2x) * ln(a) * (-sin(2x)) * (d/dx)[2x] = -2a^cos(2x) * ln(a) * sin(2x)

Для второго слагаемого -2e^sin(2x), также применим цепное правило: (d/dx)[-2e^sin(2x)] = -2 * e^sin(2x) * (d/dx)[sin(2x)] = -4e^sin(2x) * cos(2x)

Шаг 2: Теперь найдем производную функции f(x): f'(x) = -2a^cos(2x) * ln(a) * sin(2x) - 4e^sin(2x) * cos(2x)

Шаг 3: Вычислим значение производной в точке x = π/4: f'(π/4) = -2a^cos(2 * π/4) * ln(a) * sin(2 * π/4) - 4e^sin(2 * π/4) * cos(2 * π/4)

Так как cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1, получим: f'(π/4) = -2a^0 * ln(a) * 1 - 4e^1 * 0 = -2 * ln(a)

Ответ: Производная функции f(x) равна: f'(x) = -2a^cos(2x) * ln(a) * sin(2x) - 4e^sin(2x) * cos(2x) Значение производной в точке x = π/4: f'(π/4) = -2 * ln(a)