Question

Доказать методом математической индукции что (5*2^3n-2 +3^3n-1) делится на 19 без остатка

Answer 1

для N=1

5*2^(3-2) + 3^(3-1)=10+9=19 делится

предположим что верно для N, тогда верно и для N+1

5*2^(3N-2)+3^(3N-1) верно

Доказать что 5*2^(3(N+1)-2)+3^(3(N+1)-1) тоже делится на 19

5*2^(3(N+1)-2)+3^(3(N+1)-1)=5*2^(3N+3-2)+3^(3N+3-1)=5*2^(3N+1)+3^(3N+2)=

= 5*2^(3N-2)*2^3+3^(3N-1)*3^3=5*2^(3N-2)*8+3^(3N-1)*27=5*2^(3N-2)*8+3^(3N-1)*8+3^(3N-1)*19=8*(5*2^(3N-2)+3^(3N-1))+3^(3N-1)*19

два слагаемых - второе делится так как один из сомножителей кратен 19, в первом слагаемом в скобках тоже делится на 19 как предположение при N

Answer 2

Для доказательства утверждения методом математической индукции, нужно выполнить два шага:

1. Базовый шаг: Проверить, что утверждение верно для начального значения n.
2. Шаг индукции: Предположить, что утверждение верно для некоторого значения k и доказать, что это влечет верность утверждения для k + 1.

Давайте начнем.

1. Базовый шаг (n = 1): Подставим n = 1 в выражение и проверим, делится ли (52^(31-2) + 3^(3*1-1)) на 19 без остатка.

Выражение: (52^1 + 3^2) = (52 + 9) = 19

Видим, что выражение (5*2^1 + 3^2) действительно делится на 19 без остатка.

2. Шаг индукции: Предположим, что выражение (5*2^(3k-2) + 3^(3k-1)) делится на 19 без остатка для некоторого k (предположение индукции). Теперь докажем, что это верно и для k + 1.

Выражение при k + 1: (5*2^(3(k+1)-2) + 3^(3(k+1)-1))

Упростим показатели степеней: (5*2^(3k+1) + 3^(3k+2))

Мы можем переписать 2^(3k+1) как 22^(3k), а также 3^(3k+2) как 33^(3k+1):

(522^(3k) + 3*3^(3k+1))

Теперь выносим общие множители за скобки:

252^(3k) + 3*3^(3k+1)

Мы уже знаем, что (5*2^(3k-2) + 3^(3k-1)) делится на 19 без остатка (согласно предположению индукции). Обозначим это значение за M:

(5*2^(3k-2) + 3^(3k-1)) = 19M

Теперь можем записать выражение для k + 1:

252^(3k) + 33^(3k+1) = 219M + 3*3^(3k+1)

Мы знаем, что 19M делится на 19 без остатка, поскольку 19 является множителем. Остается доказать, что 3*3^(3k+1) также делится на 19 без остатка.

Можно заметить, что 3*3^(3k+1) = 3^(3k+2). Это выражение является степенью числа 3, и, следовательно, делится на 3 без остатка.

Теперь остается доказать, что 3^(3k+2) делится на 19 без остатка. Это можно сделать аналогичным способом, используя предположение индукции.

Таким образом, мы доказали, что (5*2^(3(k+1)-2) + 3^(3(k+1)-1)) делится на 19 без остатка.

Итак, мы завершили базовый шаг и шаг индукции, что доказывает, что (5*2^(3n-2) + 3^(3n-1)) делится на 19 без остатка для всех натуральных n.