Question

Миша задумал 20 различных целых чисел и перемножил их парами: каждое число с каждым. Менее 90 произведений оказались положительными. Какие значения может принимать произведение всех 20 чисел, задуманных Мишей?

Answer 1

Допустим, что Миша не загадывал 0.

Пусть было х положительных и у отрицательных чисел.

По условию:
$x + y = 20 \\ y = 20 - x$

Тогда менее, чем в 90 положительных произведениях оба числа были либо положительны, либо отрицательны.

Способов выбрать 2 положительных числа:
$\frac{x(x - 1)}{2}$

Способов выбрать 2 отрицательных числа:
$\frac{y(y - 1)}{2}$

По условию:
$\frac{x(x - 1)}{2} + \frac{y(y - 1)}{2} < 90$
Подставим сюда у=20-х:
$\frac{x(x - 1)}{2} + \frac{(20 - x)(20 - x - 1)}{2} < 90 \\ x(x - 1) + (20 - x)(19 - x) < 180 \\ {x}^{2} - x + 380 - 20x - 19x + {x}^{2} < 180 \\ 2 {x}^{2} - 40x + 200 < 0 \\ {x}^{2} - 20x + 100 < 0 \\ {(x - 10)}^{2} < 0$
Данная ситуация невозможна, значит было еще одно число: 0. 0 был один, т. к. все числа различны.

Получается произведение чисел равно: 0×...=0.

Ответ: 0.

Answer 2

Пусть у нас есть 20 различных целых чисел, обозначим их как a1, a2, ..., a20.

Мы знаем, что менее 90 произведений оказались положительными, а это значит, что больше 90 произведений оказались отрицательными.

Если у нас есть k отрицательных чисел среди a1, a2, ..., a20, то чтобы получить отрицательное произведение, нужно взять k неотрицательных чисел среди оставшихся (20 - k) и перемножить их. Это будет выполняться для всех возможных k от 0 до 19.

Таким образом, минимальное произведение получится, когда мы возьмем 19 отрицательных чисел и одно положительное:

Минимальное произведение = a1 * a2 * ... * a19 * a20

Максимальное произведение получится, когда мы возьмем 18 отрицательных чисел и два положительных:

Максимальное произведение = a1 * a2 * ... * a18 * a19 * a20

Таким образом, произведение всех 20 чисел будет лежать в диапазоне от минимального до максимального произведения.

Мы не знаем конкретных значений чисел a1, a2, ..., a20, поэтому невозможно точно определить произведение всех 20 чисел. Однако мы можем утверждать, что оно будет лежать в диапазоне от минимального до максимального произведения, что позволяет нам определить возможные значения этого произведения.