Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-4,y=x-2

Answer 1

ДАНО: Y = x² - 4, Y = x - 2

НАЙТИ: Площадь фигуры.

РЕШЕНИЕ

Площадь фигуры - интеграл разности функций.

1. Находим пределы интегрирования - находим точки пересечения.

У1 =х² - 4 = У2 = х - 2

х² - х - 2 = 0 - решаем квадратное уравнение - это и есть разность функций.

b = - 1 - нижний предел, a = 2 - верхний предел.

2, Записываем разность функций - в обратном порядке и интегрируем.

s(x) = 2 - x - x² - интегрируем -  находим первообразную.

$S(x)= \int\limits^2_b {(2+x-x^2)} \, dx= \frac{2x}{1}+ \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$

Лично мне нравится такая запись интеграла - понятно как получаются коэффициенты.

3. Вычисляем значения подставив пределы интегрирования.

S(2) = 4 +2 - 2 2/3 = 3 1/3 - подставили верхний предел

S(-1) = - 2 + 1/2 - 1/3 = - 1 1/6 - подставили нижний предел

S = S(2) - S(-1) = 3 1/3 - 1 1/6 = 4 1/2 = 4.5 - площадь - ОТВЕТ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя функциями, необходимо сначала найти точки их пересечения. Затем вычислить интеграл разности этих функций между этими точками. Площадь фигуры будет положительной, так как функция y=x^2-4 находится выше функции y=x-2 в интервалах между точками пересечения.

1. Найдем точки пересечения функций: Приравняем y=x^2-4 и y=x-2: x^2-4 = x-2

2. Перепишем уравнение в канонической форме: x^2 - x - 2 = 0

3. Решим уравнение с помощью квадратного уравнения: Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac где a = 1, b = -1, c = -2

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

Теперь найдем значения x: x = (-b ± √D) / 2a x = (1 ± √9) / 2 x1 = (1 + 3) / 2 = 2 x2 = (1 - 3) / 2 = -1

Таким образом, точки пересечения функций находятся в точках x = 2 и x = -1.

4. Теперь найдем соответствующие значения y в каждой из этих точек:

Для y=x^2-4: y1 = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 y2 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3

Для y=x-2: y1 = 2 - 2 = 0 y2 = -1 - 2 = -3

Таким образом, точки пересечения составляют (2, 0) и (-1, -3).

5. Вычислим площадь фигуры между функциями, интегрируя разность этих функций от x = -1 до x = 2:

Площадь = ∫(x-2) - (x^2-4) dx, от -1 до 2

Площадь = ∫(x - x^2 + 2) dx, от -1 до 2

Площадь = [x^2/2 - x^3/3 + 2x] от -1 до 2

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

Площадь = [(2)^2/2 - (2)^3/3 + 2(2)] - [((-1)^2/2 - (-1)^3/3 + 2(-1))]

Площадь = [2 - 8/3 + 4] - [1/2 + 1/3 - 2]

Площадь = [6/3 - 8/3 + 4 + 1/2 + 1/3 - 2]

Площадь = [6 - 8 + 12 + 3/2 + 1/3 - 6]

Площадь = 1/2 + 1/3

Площадь = 5/6

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4 и y=x-2, равна 5/6 квадратных единиц (единиц площади).