Question

Найдите вид интегральной кривой дифференциального уравнения x(y+1)y'-y^2=0 удовлетворяющего условию y(1)=1

Answer 1

$x(y+1)y'-y^2=0|*\frac{dx}{xy^2}\\\int\frac{y+1}{y^2}dy=\int\frac{dx}{x}\\ln|y|-\frac{1}{y}=ln|x|+C\\ln|\frac{y}{x}|-\frac{1}{y}=C\\y(1)=1\\ln1-1=C\\C=-1\\ln|\frac{y}{x}|-\frac{1}{y}+1=0\\\\\\(ln|\frac{y}{x}|-\frac{1}{y})'=C'\\\frac{1}{y}*\frac{xy'-y}{x}+\frac{y'}{y^2}=0\\xyy'-y^2+xy'=0$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения и поиска интегральной кривой, мы будем использовать метод разделения переменных.

Исходное уравнение: x(y + 1)y' - y^2 = 0

Шаг 1: Разделим уравнение на x(y + 1):

y' - y^2 / (x(y + 1)) = 0

Шаг 2: Перенесем y^2 / (x(y + 1)) на правую сторону:

y' = y^2 / (x(y + 1))

Шаг 3: Теперь разделим уравнение на y^2:

y' / y^2 = 1 / (x(y + 1))

Шаг 4: Проинтегрируем обе стороны по переменной y:

∫(y' / y^2) dy = ∫(1 / (x(y + 1))) dy

Шаг 5: Проинтегрируем левую сторону:

∫(y' / y^2) dy = ∫ y^(-2) dy

Интегрируя левую сторону, получим:

-1/y = -1/y + C

где C - постоянная интегрирования.

Шаг 6: Подставим начальное условие y(1) = 1:

-1/1 = -1/1 + C

-1 = -1 + C

C = 0

Таким образом, постоянная интегрирования C равна 0.

Шаг 7: Подставим значение C в уравнение:

-1/y = -1/y + 0

Теперь мы можем видеть, что уравнение верно для любого y ≠ 0.

Шаг 8: Решим уравнение относительно y:

-1/y = -1/y

Обе стороны уравнения равны друг другу при любом y ≠ 0, таким образом, уравнение удовлетворено.

Таким образом, интегральная кривая этого дифференциального уравнения имеет следующий вид:

ln|y| = -ln|x| + C

где C - произвольная постоянная, а |x| и |y| обозначают абсолютные значения x и y соответственно.