Question

У=3*sin^2(ln(3x+2)) найти производную

Answer 1

$y'=\Big(3\cdot \sin^2(\ln(3x+2))\Big)'=\\ \\ ~~~~=3\cdot 2 \cdot \sin(\ln(3x+2))\cdot \Big(\sin(\ln(3x+2))\Big)'=\\ \\ ~~~~=3\cdot 2 \cdot \sin(\ln(3x+2))\cdot \cos(\ln(3x+2))\cdot \Big(\ln(3x+2)\Big)'=\\ \\ ~~~~=3\cdot 2 \cdot \sin(\ln(3x+2))\cdot \cos(\ln(3x+2))\cdot \dfrac{1}{3x+2}\cdot \Big(3x+2\Big)'=\\ \\ ~~~~=3\cdot \Big(2 \cdot \sin(\ln(3x+2))\cdot \cos(\ln(3x+2))\Big)\cdot \dfrac{1}{3x+2}\cdot 3=$

$~~~~=9\cdot \Big(\sin(2\cdot \ln(3x+2))\Big)\cdot \dfrac{1}{3x+2}=\\ \\~~~~=9\cdot \sin\Big(\ln(3x+2)^2\Big)\cdot \dfrac{1}{3x+2}=\\ \\ \\~~~~\boldsymbol{=\dfrac{9\cdot \sin\Big(\ln(3x+2)^2\Big)}{3x+2}}$

=========================

Использована формула синуса двойного аргумента

2 sin α · cos α = sin (2α)

Answer 2

Для нахождения производной функции У = 3*sin^2(ln(3x+2)) по переменной x, мы будем использовать цепное правило (chain rule) и правило производной для элементарных функций.

Давайте разберемся пошагово:

1. Применим цепное правило: Если у нас есть функция g(u) внутри функции f(x), то производная f(g(x)) по x равна произведению производной f(u) по u и производной g(x) по x. Используя это правило, мы получим: d/dx(sin^2(ln(3x+2))) = 2*sin(ln(3x+2)) * d/dx(sin(ln(3x+2))).

2. Теперь, найдем производную sin(ln(3x+2)): Производная sin(u) по u равна cos(u). Тогда, производная sin(ln(3x+2)) по x будет равна: d/dx(sin(ln(3x+2))) = cos(ln(3x+2)) * d/dx(ln(3x+2)).

3. Найдем производную ln(3x+2): Производная ln(u) по u равна 1/u. Тогда, производная ln(3x+2) по x будет равна: d/dx(ln(3x+2)) = 1/(3x+2) * d/dx(3x+2).

4. Найдем производную 3x+2: Производная постоянной c (например, 3) умноженной на x, равна просто этой константе c. Тогда, производная 3x по x будет равна: d/dx(3x) = 3.

С учетом всех найденных производных, давайте объединим их в исходной формуле:

d/dx(sin^2(ln(3x+2))) = 2*sin(ln(3x+2)) * cos(ln(3x+2)) * (1/(3x+2) * d/dx(3x+2)).

Теперь заменим d/dx(3x+2) на его значение:

d/dx(sin^2(ln(3x+2))) = 2*sin(ln(3x+2)) * cos(ln(3x+2)) * (1/(3x+2) * 3).

Итак, окончательный ответ:

d/dx(sin^2(ln(3x+2))) = 2*sin(ln(3x+2)) * cos(ln(3x+2)) * (3/(3x+2)).