Question

Найти общие интегралы и общие решения, указанных уравнений: (1+x^2) dy-√ydx=0б)(1+x^2)y-2xy=0

Answer 1

y'-2xy/(1+x²)=1+x²  

линейное ДУ  

 

y'-2xy/(1+x²)=0  

 

dy/y=2xdx/(1+x²)  

 

ln|y|=ln|1+x²|+lnC, y=C(1+x²)  

 

частное решение неоднородного ДУ будем искать в виде:  

 

y=C(x)(1+x²)  

 

после подстановки в исходное уравнение, получим  

 

C'(x)(1+x²)+2C(x)x-2xC(x)=1+x²  

C'(x)=1, C(x)=x+C  

 

y=(C+x)(x²+1)- общее решение ДУ

Answer 2

Для обоих уравнений, мы можем использовать метод разделения переменных, чтобы найти общие интегралы.

a) (1 + x^2) dy - √y dx = 0

Разделим уравнение на (1 + x^2) и перенесем все y-связанные члены в одну часть, а x-связанные члены в другую:

dy/√y = dx/(1 + x^2)

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫dy/√y = ∫dx/(1 + x^2)

Интегрируя левую часть, получим:

2√y = arctan(x) + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Теперь найдем y:

y = ((arctan(x) + C1)/2)^2

Это общее решение уравнения.

b) (1 + x^2)y - 2xy = 0

Также разделим уравнение на y и перенесем все y-связанные члены в одну часть, а x-связанные члены в другую:

(1 + x^2)y - 2xy = 0

y(1 + x^2 - 2x) = 0

Теперь у нас есть два варианта для общего решения:

1. y = 0 (так как y умножается на ноль в левой части уравнения).
2. 1 + x^2 - 2x = 0

Для второго варианта найдем корни уравнения:

x^2 - 2x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0

x - 1 = 0

x = 1

Таким образом, у нас есть два частных решения: y = 0 и x = 1.

Общее решение уравнения: y = C2(1 + x^2 - 2x), где C2 - произвольная постоянная.