Question

При каких значениях α векторы a=(1;2;4) b(-2;α ;-1) и c=(-1;5;α ) будут компланарны?

Answer 1

(a*b)*c=0

(a*b)*c=$\left[\begin{array}{ccc}1&2&4\\-2&a&-1\\-1&5&a\end{array}\right]$=$a^{2}$-40+2+4a+4a+5=0

$a^{2}$+8a-33=0

$D^{2}$=64-4*1*(-33)=64+132=169

D=14

a1=-8+14/2=6/2=3

a2=-8-14/2=-22/2=-11

Answer 2

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или, другими словами, если они линейно зависимы. То есть, векторы a, b и c будут компланарными, если существуют такие числа x, y и z, не все равные нулю, что выполняется равенство:

x * a + y * b + z * c = 0

где a = (1; 2; 4), b = (-2; α; -1) и c = (-1; 5; α).

Подставим значения a, b и c в уравнение:

x * (1; 2; 4) + y * (-2; α; -1) + z * (-1; 5; α) = (0; 0; 0)

Это равенство можно представить в виде системы трех уравнений:

1x - 2y - z = 0 (уравнение для координаты x) 2x + αy + 5z = 0 (уравнение для координаты y) 4x - y + αz = 0 (уравнение для координаты z)

Теперь нужно определить значения α, при которых эта система уравнений имеет ненулевое решение (x, y, z). Это происходит, когда определитель матрицы системы равен нулю:

| 1 -2 -1 | | 2 α 5 | | 4 -1 α | = 0

Вычислим этот определитель:

det = 1 * (α * α - 5 * (-1)) - (-2 * α - 5 * 4) - (-1 * (2 * (-1) - 4 * α)) det = α^2 + 5 + 8α + 2 - 4α det = α^2 + 4α + 7

Теперь найдем значения α, при которых det = 0:

α^2 + 4α + 7 = 0

Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант D = 4^2 - 4 * 1 * 7 = 16 - 28 = -12, а D < 0.

Следовательно, система уравнений будет иметь ненулевое решение (x, y, z) для любого значения α. Таким образом, векторы a, b и c всегда будут компланарными.