Question

Помогите решить, пожалуйста, или натолкните мысль как решать. Какой угол образуют единичные векторы р и q, если векторы a = р + 2q и b = 5р - 4q взаимно перпендикулярны.

Answer 1

если векторы перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю, то есть

(а,b) =0

найдем это произведение

(a,b) = (( р + 2q ),(5р - 4q )) = (5(p,p)+10(p,q)-4(p,q)-8( q,q))  =

так как p  и  q единичные, то (p,p) =1  и (q,q) =1, тогда

=(5-8 +6(p,q)) = (6(p,q) -3) = 0

6(p,q) -3 = 0

(p,q) = 3:6

(p,q) = 1/2

Так как векторы  p  и  q - единичные, то их скалярное произведение равно косинусу угла между ними

значит угол α = arccos(1/2) = 60°

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства скалярного произведения векторов и условия ортогональности векторов.

1. Начнем с того, что векторы a и b взаимно перпендикулярны. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: a · b = 0

2. Запишем выражения для векторов a и b: a = р + 2q b = 5р - 4q

3. Подставим эти выражения в условие перпендикулярности (a · b = 0) и решим уравнение: (р + 2q) · (5р - 4q) = 0

4. Вычислим скалярное произведение: (р · 5р) + (р · -4q) + (2q · 5р) + (2q · -4q) = 0 5р^2 - 4(р · q) + 10(р · q) - 8q^2 = 0 5р^2 + 6(р · q) - 8q^2 = 0

5. Теперь обратим внимание, что у нас есть два неизвестных: скалярное произведение р и q (р · q) и угол между ними. Мы не можем решить это уравнение напрямую, но заметим, что векторы р и q являются единичными векторами (имеют длину равную 1).

6. Поскольку р и q - единичные векторы, то их длины равны 1: ||р|| = ||q|| = 1

7. Скалярное произведение двух единичных векторов равно косинусу угла между ними: р · q = ||р|| ||q|| cos(θ) р · q = 1 * 1 * cos(θ) р · q = cos(θ)

8. Теперь мы можем переписать наше уравнение, заменяя р · q на cos(θ): 5р^2 + 6cos(θ) - 8q^2 = 0

9. Мы знаем, что р^2 = 1 и q^2 = 1 (поскольку р и q - единичные векторы), поэтому упростим уравнение: 5 + 6cos(θ) - 8 = 0 6cos(θ) - 3 = 0 6cos(θ) = 3 cos(θ) = 3/6 cos(θ) = 1/2

10. Теперь найдем угол θ, используя обратную функцию косинуса: θ = arccos(1/2) θ ≈ 60°

Ответ: Угол между единичными векторами р и q составляет примерно 60°.