Question

Исследовать на монотонность и найти inf и sup: (2+(-1)^n)/n

Answer 1

Конечно надо знать в каких пределах меняется n.

Если от 1 до бесконечности, то супренум равен 1.

Исследуем на мнотонность. Разность соседних членов2/n+(-1)^n/n-2/(n+1)+(-1)^n?(n+1)= (4+2*(-1)^n)//(n*(n+1))

Предыдущий член всегда больше последующего.

Последовательность больше 0 , монотонно убывает.

Супренум 1, инфинум 0.

Answer 2

Для исследования на монотонность данной последовательности и нахождения её infimum (inf) и supremum (sup), давайте рассмотрим несколько первых членов последовательности и затем проведём анализ.

Последовательность задана формулой: $a_n = \frac{2+(-1)^n}{n}$

Начнем с вычисления первых членов последовательности:

$a_1 = \frac{2+(-1)^1}{1} = 1$

$a_2 = \frac{2+(-1)^2}{2} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$

$a_3 = \frac{2+(-1)^3}{3} = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}$

$a_4 = \frac{2+(-1)^4}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$

Мы видим, что последовательность имеет следующий вид: $1, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{3}{6}, \frac{1}{7}, \frac{3}{8}, \ldots$

Теперь исследуем монотонность. Для этого посмотрим на разность соседних членов последовательности:

$a_{n+1} - a_n = \frac{2+(-1)^{n+1}}{n+1} - \frac{2+(-1)^n}{n}$

Упростим выражение:

$a_{n+1} - a_n = \frac{2+(-1)^{n+1}}{n+1} - \frac{2+(-1)^n}{n} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}$

Теперь разберемся со знаками. При $n$ - четное, $n+1$ - нечетное и наоборот. Итак:

При $n$ - четное: $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} > 0$

При $n$ - нечетное: $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} < 0$

Таким образом, мы видим, что последовательность имеет следующую смену знаков: $+, -, +, -, +, - \ldots$ Она монотонно убывает и ограничена сверху числом 2 и снизу числом 0.

Теперь найдем infimum и supremum последовательности.

infimum (inf) - это наименьшее значение, которое принимает последовательность. В данном случае, inf = 0, так как последовательность монотонно убывает и ограничена снизу числом 0.

supremum (sup) - это наибольшее значение, которое принимает последовательность. В данном случае, sup = 2, так как последовательность ограничена сверху числом 2.

Итак, монотонность: монотонно убывает. infimum (inf): 0 supremum (sup): 2