Question

Можно ли на клетчатой плоскости расставить конечное число ладей так, чтобы каждая из них била не менее трех других?

Answer 1

Если можно бить сквозь ладью, тогда ставим пять в ряд, иначе каждая ладья должна бить 4 других, значит от каждой ладьи слева, справа, сверху и снизу есть еще ладья. От обратного: предположим, возможно. Рассмотрим самую левую ладью. Слева от нее обязательно должна быть другая ладья. Значит ладей бесконечное количество.

Answer 2

Да, на клетчатой плоскости можно расставить конечное число ладей так, чтобы каждая из них била не менее трех других. Это возможно на бесконечной доске, а также на доске размером 3x3 и больше.

Наименьший размер доски, где можно расставить 4 ладьи удовлетворяющие условию, - это доска размером 3x3:

Copy code
R . . 
. R . 
. . R

Где "R" - это ладьи, а "." - свободные клетки. В этом примере каждая ладья бьет остальные три.

На бесконечной доске можно построить последовательность ладей с требуемым свойством. Например, можно расставить ладьи в шахматном порядке каждую через две клетки по вертикали и горизонтали. Вот один из способов:

Copy code
R . R . R . R . ...
. . . . . . . . ...
. R . R . R . R . ...
. . . . . . . . ...
R . R . R . R . ...
. . . . . . . . ...
. R . R . R . R . ...
. . . . . . . . ...

Каждая ладья на этой доске бьет все остальные ладьи в той же вертикали и горизонтали, и их количество неограниченно увеличивается с увеличением размера доски.