Question

Помогите!вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=2^x y=0 x=0 x=2

Answer 1

$S=\int\limits^2_0\, 2^{x} \, dx=\frac{2^{x}}{ln2}\Big |_0^2=\frac{1}{ln2}\cdot (2^2-2^0)=\frac{1}{ln2}\cdot (4-1)= \frac{3}{ln2 }$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно разделить эту фигуру на несколько более простых фигур и вычислить площадь каждой из них. В данном случае, эта фигура ограничена линиями y = 2^x, y = 0, x = 0 и x = 2.

1. Построим график функции y = 2^x и прямых x = 0 и x = 2:

markdownCopy code
y
|
|    *
|     \
|      \
|       * 
|__________ x

2. Фигура, которую мы ищем, находится между графиком функции y = 2^x и осью X, ограничена вертикальными линиями x = 0 и x = 2, и осью X.

3. Площадь данной фигуры будет равна интегралу от y = 2^x до y = 0 по x от 0 до 2. Так как y = 2^x и y = 0 пересекаются в точке (0, 1), интеграл можно записать так:

Площадь = ∫[0, 2] (2^x - 0) dx

4. Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[0, 2] 2^x dx

Интегрирование 2^x довольно сложное, но здесь мы можем использовать формулу для интеграла степенной функции a^x:

∫ a^x dx = (a^x) / ln(a) + C

где C - постоянная интегрирования.

В данном случае a = 2:

∫ 2^x dx = (2^x) / ln(2) + C

5. Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 2:

Площадь = [(2^2)/ln(2) - (2^0)/ln(2)] = [4/ln(2) - 1/ln(2)] = (4 - 1) / ln(2) = 3 / ln(2) ≈ 4.322

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2^x, y = 0, x = 0 и x = 2, составляет примерно 4.322 квадратных единиц.