Question

Найти площадь треугольника с вершинами A(1;-2;3),B(1;1;4),C(3;2;1).

Answer 1

AB = √(0+9+1) = √10

BC = √(4+1+9) = √14

AC = √(4 + 16 + 4) = √24

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √((√10+√14+√24)(√10+√14-√24)(√24+√10-√14)(√24-√10+√14)/16) = √140 = 2√35

Ответ: 2√35

Answer 2

Для нахождения площади треугольника, образованного тремя точками в трехмерном пространстве, используется формула Герона. Эта формула основана на нахождении полупериметра треугольника и его высоты.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника.

Для этого используем расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве. Для стороны AB длина будет:

AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2)

где (x_A, y_A, z_A) - координаты точки A(1;-2;3), (x_B, y_B, z_B) - координаты точки B(1;1;4).

AB = √((1 - 1)^2 + (1 - (-2))^2 + (4 - 3)^2) = √(0^2 + 3^2 + 1^2) = √10.

Аналогично, находим длины сторон BC и AC:

BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2) = √((3 - 1)^2 + (2 - 1)^2 + (1 - 4)^2) = √(2^2 + 1^2 + (-3)^2) = √14.

AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2) = √((3 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 + (1 - 3)^2) = √(2^2 + 4^2 + (-2)^2) = √24.

Шаг 2: Найдем полупериметр треугольника (p):

p = (AB + BC + AC) / 2 = (√10 + √14 + √24) / 2.

Шаг 3: Вычислим площадь треугольника (S) с помощью формулы Герона:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)).

S = √((√10 + √14 + √24) / 2 * (√10 + √14 + √24) / 2 - √10) * (√10 + √14 + √24) / 2 - √14) * (√10 + √14 + √24) / 2 - √24)) = √((√10 + √14 + √24) / 2 * (√10 + √14 + √24) / 2 - √10) * (√10 + √14 + √24) / 2 - √14) * (√10 + √14 + √24) / 2 - √24)) ≈ √5.546.

Таким образом, площадь треугольника S ≈ √5.546 (округлено до тысячных).