Question

Четыре ученика,участвуя в олимпиаде,состоящей из 10 заданий, решили разное количество задач. Каждый решил не менее 6 задач . Обязательно ли найдётся задача которую решили все четыре.

Answer 1

Разное кол-во,тоесть нет повторяющихся.Раз не менее 6,то может быть:1)6,7,8,9 2)7,8,9,10 3)6,8,9,10 4)6,7,9,10 и ещё несколько вариантов,но если посмотреть,то становится понятно,что не всегда найдется такая задача,потому что даже если у одного решены все 10,а у второго 9,то есть вопрос,на который 1 ответил,а второй нет.Но на 9 вопросов они ответили одинакого.Тоесть такое возможно,но не обязательно.

Answer 2

Да, обязательно найдется задача, которую решили все четыре ученика.

Допустим, ученик А решил 6 задач, ученик В решил 7 задач, ученик С решил 8 задач, а ученик D решил 9 задач.

Теперь давайте рассмотрим обратную ситуацию: пусть нет задачи, которую решили все ученики. Это значит, что каждая задача была решена не более чем тремя учениками.

Так как ученик А решил 6 задач, он решил каждую из них одним из трех возможных способов: A, AB, AC, AD, ABC, ABD, ACD, или ABCD (где A представляет задачу, которую решил ученик A, и так далее). Точно так же ученик В решил свои 7 задач и ученик С решил свои 8 задач, а ученик D решил все 9 задач.

Теперь посчитаем, сколько раз упоминается каждая задача среди всех комбинаций:

• Задача A упоминается 3 раза (ABCD, ABC, ABD).
• Задача B упоминается 3 раза (ABCD, ABC, ACD).
• Задача C упоминается 3 раза (ABCD, ABC, ABD).
• Задача D упоминается 3 раза (ABCD, ABD, ACD).

Мы видим, что каждая задача упоминается не менее 3 раз, что противоречит тому, что ученики решили не более 3 задач. Это означает, что предположение о том, что нет задачи, которую решили все ученики, неверно. Таким образом, найдется задача, которую решили все четыре ученика.