Question

Даны координаты точек A (4 2) B (0 -6) C (-4 -2) Докажите что треугольник ABC равнобедренный. Найдите длину биссектрисы проведённой к основанию.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

По формуле расстояния:

AB= \sqrt{  4^{2}+ (2+6)^{2}  } = \sqrt{16+64}= \sqrt{80}  =4 \sqrt{5}  

Аналогично:

AC= \sqrt{  (4+4)^{2}+ (2+2)^{2}  } = \sqrt{64+16} = \sqrt{80} =4 \sqrt{5} .

AB=AC= 4\sqrt{5}  

Значит, по определению равнобедренного треугольника, можно заключить, что этот треугольник является равнобедренным

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC равнобедренный, нужно показать, что две из его сторон имеют равные длины. Проверим, равны ли стороны AB и AC:

Для начала, найдем расстояния между точками:

Расстояние между точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Таким образом, длина стороны AB (dAB) будет равна: dAB = √((0 - 4)² + (-6 - 2)²) = √((-4)² + (-8)²) = √(16 + 64) = √80 = 4√5

Длина стороны AC (dAC) будет равна: dAC = √((-4 - 4)² + (-2 - 2)²) = √((-8)² + (-4)²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5

Таким образом, стороны AB и AC имеют одинаковую длину: AB = AC = 4√5. Так как две стороны треугольника равны, то треугольник ABC является равнобедренным.

Чтобы найти длину биссектрисы, проведенной к основанию (то есть к стороне BC), можно воспользоваться формулой для длины биссектрисы в треугольнике.

Пусть биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке D. Тогда длина биссектрисы (BD) можно вычислить следующим образом:

BD = (2 * √(BC * AB * p * (p - AC))) / (AB + AC)

где BC - длина стороны BC, AB - длина стороны AB, AC - длина стороны AC, p - полупериметр треугольника (p = (AB + AC + BC) / 2).

Итак, у нас уже есть AB = AC = 4√5. Осталось найти длину стороны BC:

BC = √((0 - (-4))² + (-6 - (-2))²) = √(4² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

Теперь вычислим полупериметр p:

p = (AB + AC + BC) / 2 p = (4√5 + 4√5 + 4√2) / 2 p = (8√5 + 4√2) / 2 p = 4√5 + 2√2

Теперь вычислим длину биссектрисы BD:

BD = (2 * √(BC * AB * p * (p - AC))) / (AB + AC) BD = (2 * √(4√2 * 4√5 * (4√5 + 2√2) * ((4√5 + 2√2) - 4√5))) / (4√5 + 4√5) BD = (2 * √(4√2 * 4√5 * (4√5 + 2√2) * 2√2)) / 8√5 BD = (2 * √(32 * (4√5 + 2√2))) / 8√5 BD = √(64√5 + 32√8) / 8√5 BD = √(64√5 + 32√(4 * 2)) / 8√5 BD = √(64√5 + 32√(2)) / 8√5 BD = √(32√2 + 32√(2)) / 8√5 BD = √(32√2(1 + √2)) / 8√5 BD = (4√2√(1 + √2)) / 8√5 BD = (4√2(1 + √2)) / 8√5 BD = (4√2 + 4√(2)) / 8√5 BD = (4√2 + 4√2) / 8√5 BD = (8√2) / 8√5 BD = √2 / √5 BD = (√2 * √5) / (√5 * √5) BD = √(2 * 5) / 5 BD = √10 / 5 BD = (√10 * √5) / (5 * √5) BD = √(10 * 5) / 5√5 BD = √50 / 5√5 BD = (5√2) / (5√5 * √2) BD = 1 / √5 BD = √5 / 5

Таким образом, длина биссектрисы BD равна √5 / 5.

Итак, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным, а длина биссектрисы, проведенной к основанию BC, равна √5 / 5.