Question

Сравнения логарифмов. a) log 5 по основанию 7 и log 6 по основанию 5 б) log 9 по основанию 0,4 и log 8 по основанию 0,4 в) log 7 по основанию 5 и log 7 по основанию 4 г) log 3 по основанию 2 и log 4 по основанию 3

Answer 1

a) log 5 по основанию 7 и log 6 по основанию 5

log₇5   ?   log₅6

Так как основания 7>1 и 5>1, логарифмические функции по основанию 7 и 5 возрастающие.

log₇ 5 < log₇ 7 = 1;    ⇒   log₇ 5 < 1

log₅ 6 > log₅ 5 = 1;    ⇒   log₅ 6 > 1

log₇5 < 1 < log₅6

log₇5 < log₅6

================================

б) log 9 по основанию 0,4 и log 8 по основанию 0,4

log₀,₄ 9   ?   log₀,₄ 8

Так как основание логарифмов 0,4 < 1, то логарифмическая функция убывающая.

9 > 8    ⇒     log₀,₄ 9 < log₀,₄ 8

===============================

в) log 7 по основанию 5 и log 7 по основанию 4

log₅7   ?   log₄7

$log_57=\dfrac{1}{log_75}\\ \\ log_47=\dfrac{1}{log_74}$

Основания логарифма 7>1, логарифмическая функция возрастающая.

По правилу сравнения дробей :

если   a > b, то   $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$

5 > 4    ⇒    log₇5 > log₇4    ⇒

$\dfrac{1}{log_75}<\dfrac{1}{log_74}$    ⇒

log₅7 < log₄7

==================================

г) log 3 по основанию 2 и log 4 по основанию 3

log₂3   ?   log₃4

Сравнить эти логарифмы проще всего графически (см. приложение)

log₂3 > log₃4