Question

Вычислите стороны прямоугольного треугольника, если: а) гипотенуза равна 2, а один из катетов больше другого на 1; б) один из катетов равен 1, а другой в 3 раза меньше гипотенузы. в) один из катетов равен 1, а другой на 1 меньше гипотенузы.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

с² = а² + в²,

а)

с = 2,

а = х,

в = а + 1 = х + 1,

2² = х² + (х + 1)²,

4 = х² + х² + 2х + 1,

2х² + 2х - 3 = 0,

Д = 2² - 4*2*(-3) = 4 + 24 = 28,

х1 = (-2 - 2√7) / 2*2 = (-1 - √7)/2 - не подходит, так как < 0,

х2 = (-2 + 2√7) / 2*2 = (-1 + √7)/2 - катет а,

х + 1 = (-1 + √7)/2 + 2/2 = (1 + √7)/2 - катет в,

б)

а = 1,

в = х,

с = 3в = 3х,

(3х)² = 1² + х²,

9х² - х² = 1,

8х² = 1,

х² = 1/8,

х = 1/√8 - катет в,

3х = 3 * 1/√8 = 3/√8 - гипотенуза с,

в)

а = 1,

в = х,

с = в + 1 = х + 1,

(х + 1)² = 1² + х²,

х² + 2х + 1 = 1 + х²,

2х = 0,

х = 0 - корней нет

Answer 2

Для решения этих задач, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит:

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $c$ и катетами $a$ и $b$ выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.

а) Пусть один катет равен $x$, тогда второй катет будет равен $x + 1$, а гипотенуза равна 2.

Имеем уравнение:

$2^2 = x^2 + (x + 1)^2$

$4 = x^2 + x^2 + 2x + 1$

$2x^2 + 2x - 3 = 0$

Решаем квадратное уравнение:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{4}$

$x = \frac{-2 \pm 4}{4}$

Таким образом, имеем два возможных значения катетов: $x = \frac{1}{2}$ или $x = -\frac{3}{2}$.

Так как стороны не могут быть отрицательными, то правильный ответ: $x = \frac{1}{2}$ и $x + 1 = \frac{3}{2}$.

б) Пусть один катет равен 1, а другой в 3 раза меньше гипотенузы.

Пусть $a = 1$ и $b = \frac{c}{3}$.

Тогда по теореме Пифагора:

$c^2 = 1^2 + \left(\frac{c}{3}\right)^2$

$c^2 = 1 + \frac{c^2}{9}$

$9c^2 = 9 + c^2$

$8c^2 = 9$

$c^2 = \frac{9}{8}$

$c = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

Таким образом, гипотенуза $c = \frac{3\sqrt{2}}{4}$, а второй катет $b = \frac{c}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

в) Пусть один из катетов равен 1, а другой на 1 меньше гипотенузы.

Пусть $a = 1$ и $b = c - 1$.

Тогда по теореме Пифагора:

$c^2 = 1^2 + (c - 1)^2$

$c^2 = 1 + c^2 - 2c + 1$