Question

Диагонали выпуклого четырехугольника АВСД вписанного в окружность с центром в О взаимно перпендикуляры. Докажите что ломаная АОС делит четырехугольник на две части равной площади

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что ломаная АОС делит четырехугольник АВСД на две части равной площади, воспользуемся свойствами вписанного четырехугольника и перпендикулярных диагоналей.

Пусть диагонали АС и ВД пересекаются в точке М (см. рисунок).

cssCopy code
       B
       *      
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
A *---------* D
   \       /
    \     /
     \   /
      \ /
       *
       C

Так как четырехугольник АВСД вписанный в окружность, углы AMB и CMD являются прямыми углами, так как они опираются на диаметры. Также, углы АСМ и ВМД являются прямыми углами, так как они опираются на пересекающиеся хорды АС и ВД, которые проходят через центр окружности О.

Теперь обратим внимание на треугольники АСМ и ВМД. Эти треугольники имеют общую высоту, которая равна отрезку МО, так как М - середина диагонали СД и ВС, и параллельные стороны (АС и ВД), так как диагонали перпендикулярны. Следовательно, площади треугольников АСМ и ВМД равны.

Теперь докажем, что площади треугольников АМО и ВМО также равны. Для этого заметим, что у этих треугольников высота, опущенная из вершины М, равна диагонали МС и МВ соответственно. При этом, эти диагонали равны, так как они проходят через точку М и перпендикулярны друг другу. Следовательно, треугольники АМО и ВМО имеют равные площади.

Теперь, чтобы доказать, что ломаная АОС делит четырехугольник АВСД на две части равной площади, нужно показать, что площадь треугольника АОС равна сумме площадей треугольников АСМ и АМО.

Поскольку треугольники АСМ и АМО имеют общую сторону АМ и находятся по разные стороны от нее, их площади можно сложить:

Площадь АМОС = Площадь АМО + Площадь АСМ

Также, из предыдущего рассуждения мы знаем, что Площадь АМО = Площадь ВМО и Площадь АСМ = Площадь ВМД.

Теперь, заметим, что треугольники ВМО и ВМД также имеют общую сторону ВМ и находятся по разные стороны от нее, поэтому их площади тоже можно сложить:

Площадь ВМОС = Площадь ВМО + Площадь ВМД

Из предыдущего рассуждения, Площадь ВМО = Площадь АМО и Площадь ВМД = Площадь АСМ.

Таким образом, мы получили:

Площадь АМОС = Площадь АМО + Площадь АСМ = Площадь ВМО + Площадь ВМД = Площадь ВМОС

Таким образом, площади четырехугольников АМОС и ВМОС равны, что и требовалось доказать.